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2023年東北三省三校黑龍江省哈爾濱師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學高考數學一模試卷

發布：2024/4/20 14:35:0

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的

1．已知集合A={x∈Z|x²-x-2≤0}，集合
B
=
{
x
|
y
=
1
-
log
2
x
}
，則A∩B=（　?。?/h2>
A．[-1，2] B．（1，2] C．{1，2} D．{-1，1，2}
組卷：416引用：5難度：0.8
解析
2．已知i為虛數單位，復數z滿足|z-（3+2i）|=1，則復數z對應的點在（　?。?/h2>
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
組卷：100難度：0.7
解析
3．已知非零向量
a
，
b
滿足
（
a
+
2
b
）
⊥
（
a
-
2
b
）
，且向量
b
在向量
a
方向的投影向量是
1
4
a
，則向量
a
與
b
的夾角是（　　）
A．
π
6
B．
π
3
C．
π
2
D．
2
π
3
組卷：513引用：10難度：0.6
解析
4．楊輝是我國古代數學史上一位著述豐富的數學家，著有《詳解九章算法》、《日用算法》和《楊輝算法》．楊輝三角的發現要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的．楊輝三角本身包含了很多有趣的性質，利用這些性質，可以解決很多數學問題，如開方、數列等．

我們借助楊輝三角可以得到以下兩個數列的和.1+1+1+…+1=n；
1
+
2
+
3
+
…
+
C
1
n
-
1
=
C
2
n

若楊輝三角中第三斜行的數：1，3，6，10，15，…構成數列{a_n}，則關于數列{a_n}敘述正確的是（　?。?/h2>
A．
a
n
+
a
n
+
1
=
（
n
+
1
）
2
B．
a
n
+
a
n
+
1
=
n
2
C．數列{a_n}的前n項和為
C
3
n
D．數列{a_n}的前n項和為
C
2
n
+
1
組卷：135引用：3難度：0.7
解析
5．若
sin
（
2
α
+
π
6
）
+
cos
2
α
=
3
，則tanα=（　?。?/h2>
A．
3
3
B．1 C．
2
-
3
D．
2
+
3
組卷：195引用：2難度：0.8
解析
6．“阿基米德多面體”這稱為半正多面體（semi-regularsolid），是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現了數學的對稱美．如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體．已知
AB
=
3
2
2
，則該半正多面體外接球的表面積為（　?。?/h2>
A．18π B．16π C．14π D．12π
組卷：279引用：8難度：0.6
解析
7．某學校在校門口建造一個花圃，花圃分為9個區域（如圖），現要在每個區域栽種一種不同顏色的花，其中紅色、白色兩種花被隨機地分別種植在不同的小三角形區域，則它們在不相鄰（沒有公共邊）區域的概率為（　　）
A．
1
8
B．
1
4
C．
3
8
D．
3
4
組卷：75引用：3難度：0.7
解析

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四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程和演算步驟）

21．已知雙曲線C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
過點
A
（
3
，-
2
）
，且漸近線方程為
x
±
3
y
=
0
．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）如圖，過點B（1，0）的直線l交雙曲線C于點M、N．直線MA、NA分別交直線x=1于點P、Q，求
|
PB
|
|
BQ
|
的值．
組卷：142引用：3難度：0.5
解析
22．已知函數
f
（
x
）
=
a
2
e
2
x
+
（
a
-
2
）
e
x
-
x
2
2
，f'（x）為函數f（x）的導函數．
（1）討論f'（x）的單調性；
（2）若x₁，x₂（x₁＜x₂）為f（x）的極值點，證明：
x
2
-
x
1
＜
ln
（
3
-
a
）
-
lna
+
2
a
-
1
．
組卷：149引用：2難度：0.5
解析