2020年北京市燕博園高考數學綜合能力測試試卷（CAT）（3月份）

一、選擇題共10題，每題4分，共40分。在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

• 1．設A=[-1，1]，B=（-∞，m），若A∩B=?，則實數m的取值范圍是（　　）

  A．（-∞，-1）

  B．（-∞，-1]

  C．（-∞，1）

  D．（-∞，1]
  組卷：24引用：1難度：0.8

  解析

• 2．若復數z=-3+4i（其中i為虛數單位），則在復平面內，i?z對應的點位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  組卷：26引用：1難度：0.8

  解析

• 3．下列函數中，在（0，+∞）上為減函數的是（　　）

  A．y=ln 1 x

  B．y=- 1 x

  C．y= x 1 2

  D．y=0.8|x-1|
  組卷：34引用：1難度：0.8

  解析

• 4．在銳角△ABC中，a=3，b=5，sinA=

  1

  3

  ，則cos2B=（　　）

  A．- 31 81

  B． 31 81

  C． 20 14 81

  D．- 20 14 81
  組卷：30引用：1難度：0.7

  解析

• 5．已知2^a=

  2

  ，log₉x=a,則x的值為（　　）

  A．9

  B． 1 9

  C．3

  D． 1 3
  組卷：94引用：1難度：0.8

  解析

• 6．設

  a

  =（1+k,2），

  b

  =（-1，k²），其中k∈R，

  a

  ⊥

  b

  ，則k的值為（　　）

  A．1

  B． 1 2

  C．1或 1 2

  D．1或- 1 2
  組卷：26引用：1難度：0.7

  解析

• 7．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長棱的長度為（　　）

  A． 5

  B． 6

  C． 2 2

  D．3
  組卷：101引用：4難度：0.7

  解析

三、解答題共6題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

• 20．已知橢圓W：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0），離心率為

  2

  2

  ，y軸與橢圓相交于A，B兩點，AB=2

  3

  ．
  （Ⅰ）求橢圓W的方程；
  （Ⅱ）若C，D是橢圓上異于A，B的任意兩點，且直線AC，BD相交于點M，直線AD，BC相交于點N．求直線MN的斜率．
  組卷：31引用：1難度：0.3

  解析

• 21．對給定的正整數n,若存在若干個正整數a₁，a₂，…，a_k滿足a₁+a₂+…+a_k=n（k=1，2，3，…），且a₁≤a₂≤a₃≤…≤a_k，則稱數列a₁，a₂，…，a_k為正整數n的一個“友數列”．若n的所有友數列的個數記為M_n，對任意一個友數列σ_iⁿ（i=1，2，……，M_n），A（σ_iⁿ）表示數列中數字1出現的個數，B（σ_iⁿ）表示數列中出現的不同數字的個數，則研究下列問題：
  （Ⅰ）當n=4時，分別寫出M₄，

  M

  4

  ∑

  i

  =

  1

  A

  （

  σ

  4

  i

  ）

  ，

  M

  4

  ∑

  i

  =

  1

  B

  （

  σ

  4

  i

  ）

  ；
  （Ⅱ）計算

  M

  5

  ∑

  i

  =

  1

  A

  （

  σ

  5

  i

  ）

  ，并比較其與M₄+M₃+M₂+M₁+1的大小；
  （Ⅲ）對給定的正整數n,試比較

  M

  n

  ∑

  i

  =

  1

  A（σ_iⁿ）與

  M

  n

  ∑

  i

  =

  1

  B（σ_iⁿ）的大小，并說明理由．
  組卷：33引用：1難度：0.3

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