2023-2024學年北京師大附中高三（上）期中數學試卷

一、單選題（共10小題；共40分）

• 1．已知集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x＞0}，則A∪B=（　　）

  A．[-2，3]

  B．[0，3]

  C．（0，+∞）

  D．[-2，+∞）
  組卷：315引用：6難度：0.8

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• 2．復數

  z

  =

  2

  1

  +

  i

  的共軛復數

  z

  =（　　）

  A．1-i

  B．1+i

  C． 1 2 - 1 2 i

  D． 1 2 + 1 2 i
  組卷：253引用：4難度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  a

  =（m,1），

  b

  =（-1，2）．若

  a

  ∥

  b

  ，則m=（　　）

  A．2

  B．1

  C．-1

  D．- 1 2
  組卷：217引用：3難度：0.8

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• 4．下列函數中，是奇函數且在定義域內單調遞減的是（　　）

  A．f（x）=sinx	B．f（x）=2|x|
  C．f（x）=x3+x	D． f （ x ） = 1 2 （ e - x - e x ）
  組卷：529引用：11難度：0.8

  解析

• 5．記cos（-80°）=k,那么tan100°=（　　）

  A． 1 - k 2 k

  B．- 1 - k 2 k

  C． k 1 - k 2

  D．- k 1 - k 2
  組卷：4218引用：52難度：0.9

  解析

• 6．已知兩點A（-2，0），B（0，2），點C是圓x²+y²-4x+4y+6=0上任意一點，則△ABC面積的最小值是（　　）

  A．8

  B．6

  C． 3 + 2

  D．4
  組卷：503引用：5難度：0.7

  解析

• 7．函數f（x）=cos（ωx+φ）的部分圖象如圖所示，則f（x）的單調遞減區間為（　　）

  A．（kπ- 1 4 ，kπ + 3 4 ），k∈Z	B．（2kπ- 1 4 ，2kπ + 3 4 ），k∈Z
  C．（2k- 1 4 ，2k + 3 4 ），k∈Z	D．（k- 1 4 ，k + 3 4 ），k∈Z
  組卷：961引用：24難度：0.9

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三、解答題（共6小題：共85分）

• 20．已知函數f（x）=x-alnx,g（x）=-

  1

  +

  a

  x

  （a＞0）．
  （Ⅰ）若a=1，求函數f（x）的極值；
  （Ⅱ）設函數h（x）=f（x）-g（x），求函數h（x）的單調區間；
  （Ⅲ）若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求a的取值范圍．
  組卷：1173引用：11難度：0.1

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• 21．已知{a_n}為無窮遞增數列，且對于給定的正整數k,總存在i,j.使得a_i≤k,a_j≤k,其中i≤j.令b_k為滿足a_i≤k的所有i中的最大值，c_k為滿足a_j≥k的所有j中的最小值．
  （1）若無窮遞增數列{a_n}的前四項是1，2，3，5，求b₄和c₄的值；
  （2）若{a_n}是無窮等比數列，a₁=1，公比q為大于1的整數，b₃＜b₄=b₅，c₃=c₄，求q的值；
  （3）若{a_n}是無窮等差數列，a₁=1，公差為

  1

  m

  ，其中m為常數，且m＞1，m∈N^*，求證：b₁，b₂，?，b_k，?和c₁，c₂，?，c_k，?都是等差數列，并寫出這兩個數列的通項公式．
  組卷：68引用：2難度：0.2

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