2023-2024學(xué)年湖南省長沙市雨花區(qū)南雅中學(xué)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．已知z是方程x²-2x+2=0的一個根，則|

  z

  |=（　　）

  A．1

  B． 2

  C． 3

  D．2
  組卷：201引用：6難度：0.8

  解析

• 2．集合U={x|x≤10且x∈N^*}，A?U，B?U，且A∩B={4，5}，（?_UB）∩A={1，2，3}，（?_UA）∩（?_UB）={6，7，8}，則B=（　　）

  A．{4，5，6，7}

  B．{4，5，6，9}

  C．{4，5，9，10}

  D．{4，5，6，9，10}
  組卷：57引用：2難度：0.8

  解析

• 3．函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且f（x）的一個周期為4，則f（x）的解析式可以是（　　）

  A．f（x）=sin（ π 2 x）	B．f（x）=cos（ π 2 x）
  C．f（x）=sin（ π 4 x）	D．f（x）=cos（ π 4 x）
  組卷：2988引用：6難度：0.7

  解析

• 4．橢圓

  x

  2

  m

  2

  +

  1

  +

  y

  2

  m

  2

  =1（m＞0）的焦點為F₁，F(xiàn)₂，上頂點為A，若∠F₁AF₂=

  π

  3

  ，則m=（　　）

  A．1

  B． 2

  C． 3

  D．2
  組卷：972引用：17難度：0.7

  解析

• 5．二維碼與生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是21×21大小的，即441個點，根據(jù)0和1的二進制編碼，一共有2⁴⁴¹種不同的碼，假設(shè)我們1萬年用掉3×10¹⁵個二維碼，那么大約可以用（　　）

  A．10117萬年

  B．117萬年

  C．10205萬年

  D．205萬年
  組卷：151引用：12難度：0.9

  解析

• 6．等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S₁₀=10，S₂₀=30，則S₄₀=（　　）

  A．270

  B．150

  C．80

  D．70
  組卷：477引用：6難度：0.7

  解析

• 7．某學(xué)校有男生600人，女生400人．為調(diào)查該校全體學(xué)生每天的運動時間，采用分層抽樣的方法獲取容量為n的樣本．經(jīng)過計算，樣本中男生每天運動時間的平均值為80分鐘，方差為10；女生每天運動時間的平均值為60分鐘，方差為20．結(jié)合數(shù)據(jù)，估計全校學(xué)生每天運動時間的方差為（　　）

  A．96

  B．110

  C．112

  D．128
  組卷：82引用：2難度：0.7

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．已知函數(shù)f（x）=ax-

  1

  x

  -（a+1）lnx（a≠0）．
  （1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
  （2）若f（x）既有極大值又有極小值，且極大值和極小值的和為g（a）．解不等式g（a）＜2a-2．
  組卷：190引用：5難度：0.6

  解析

• 22．航天事業(yè)是國家綜合國力的重要標(biāo)志，帶動著一批新興產(chǎn)業(yè)和新興學(xué)科的發(fā)展．某市為了激發(fā)學(xué)生對航天科技的興趣，點燃學(xué)生的航天夢，現(xiàn)組織該市全體學(xué)生參加航天創(chuàng)新知識競賽，并隨機抽取1000名學(xué)生作為樣本，研究其競賽成績．經(jīng)統(tǒng)計分析該市高中生競賽成績X近似地服從正態(tài)分布N（μ，σ²），其中μ近似為樣本平均數(shù)

  ?

  x

  ，σ²近似為樣本方差s²，并已求得

  ?

  x

  =

  73

  和s²=37.5．
  （1）若該市有4萬名高中生，試估計這些高中生中競賽成績位于區(qū)間（66.9，85.2）的人數(shù)；
  （2）若規(guī)定成績在85.2以上的學(xué)生等級為優(yōu)秀，現(xiàn)從全市高中生中任意抽取一個進行訪談，如果取到學(xué)生等級不是優(yōu)秀，則繼續(xù)抽取下一個，直至取到等級為優(yōu)秀的學(xué)生為止，但抽取的總次數(shù)不超過n.如果抽取次數(shù)的期望值不超過6，求n的最大值．
  （附：

  37

  .

  5

  ≈

  6

  .

  1

  ，0.975⁵≈0.881，0.975⁶=0.859，0.975⁷=0.838，0.975⁸=0.817，若X～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.68，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.95）
  組卷：32引用：2難度：0.5

  解析