2022-2023學年寧夏銀川一中高二（下）期中數學試卷（理科）

一、單選題。（本題共12小題，每小題5分，共60分）

• 1．

  ∫

  π

  2

  0

  cosxdx

  =（　　）

  A．-1

  B．1

  C．-2

  D．2
  組卷：19引用：2難度：0.8

  解析

• 2．在同一平面直角坐標系中，將曲線y=

  1

  3

  cos2x按伸縮變換

  x ′ = 2 x

  y ′ = 3 y

  變換為（　　）

  A．y′=cosx′	B．y′=3cos 1 2 ′
  C．y′=2cos 1 3 x′	D．y′= 1 2 cos3x′
  組卷：76引用：7難度：0.9

  解析

• 3．如圖，從上端口往一高為H的水缸勻速注入水，水注滿所用時間為T．若當水深為h時，水注入所用時間為t,則函數h=f（t）的圖像大致是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  組卷：91引用：3難度：0.7

  解析

• 4．下列以t為參數的參數方程中，其表示的曲線與方程xy=1表示的曲線完全一致的是（　　）

  A． x = t 0 . 5 y = t - 0 . 5	B． x = | t | y = | t | - 1
  C． x = cost y = sint	D． x = tant y = cost sint
  組卷：37引用：2難度：0.7

  解析

• 5．已知函數f（x）的導函數為f'（x），且滿足f（x）=2xf'（2）+ln（x-1），則f（2）=（　　）

  A．-1

  B． - 2 3

  C．-4

  D．e
  組卷：276引用：5難度：0.8

  解析

• 6．在極坐標系中，曲線

  ρ

  =

  4

  sin

  （

  θ

  -

  π

  3

  ）

  關于（　　）

  A．直線 θ = π 3 軸對稱	B．直線 θ = 5 6 π 軸對稱
  C．點 （ 2 ， π 3 ） 中心對稱	D．極點中心對稱
  組卷：719引用：12難度：0.9

  解析

• 7．如圖所示，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°，則AC₁的長為（　　）

  A． 3

  B．2

  C． 5

  D． 6
  組卷：143引用：3難度：0.8

  解析

三、解答題。（共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）

• 21．在直角梯形AA₁B₁B中，A₁B₁∥AB，AA₁⊥AB，AB=AA₁=2A₁B₁=6，直角梯形AA₁B₁B繞直角邊AA₁旋轉一周得到如下圖的圓臺A₁A，已知點P，Q分別在線段CC₁，BC上，二面角B₁-AA₁-C₁的大小為θ．
  （1）若θ=120°，

  CP

  =

  2

  3

  C

  C

  1

  ，AQ⊥AB，證明：PQ∥平面AA₁B₁B；
  （2）若θ=90°，點P為CC₁上的動點，點Q為BC的中點，求PQ與平面AA₁C₁C所成最大角的正切值，并求此時二面角Q-AP-C的余弦值．
  組卷：392引用：7難度：0.2

  解析

• 22．已知f（x）=2xlnx,g（x）=-x²+ax-3．
  （Ⅰ）求函數f（x）的最小值；
  （Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求實數a的取值范圍；
  （Ⅲ）證明對一切x∈（0，+∞），都有

  f

  （

  x

  ）

  ＞

  2

  （

  x

  e

  x

  -

  2

  e

  ）

  成立．
  組卷：73引用：6難度：0.1

  解析