2022-2023學年上海市靜安區市北中學高三（上）期中數學試卷

一、填空題。（本大題共有12小題，滿分54分）只要求直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分。

• 1．不等式2^x＞1的解為

   

  ．
  組卷：85引用：2難度：0.9

  解析

• 2．已知全集U=R，集合A={x||x|＜1}，B={x|x＞

  -

  1

  2

  }，則

  B

  ∩A=

  ．
  組卷：9引用：1難度：0.8

  解析

• 3．設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知S₁₁=55，則a₆=

  ．
  組卷：351引用：5難度：0.8

  解析

• 4．已知復數z滿足z?|3-4i|=2+5i（i為虛數單位），則復數z在復平面內對應的點的坐標

  ．
  組卷：65引用：1難度：0.7

  解析

• 5．過點（2，0）且與直線2x-4y-1=0垂直的直線的方程是

  ．
  組卷：37引用：1難度：0.7

  解析

• 6．函數y=sinx-

  3

  cosx的最大值為

   

  ．
  組卷：179引用：4難度：0.9

  解析

• 7．多項式

  （

  x

  +

  2

  ）

  （

  x

  +

  1

  ）

  5

  =

  a

  6

  x

  6

  +

  a

  5

  x

  5

  +

  ?

  +

  a

  1

  x

  +

  a

  0

  ，那么a₁=

  ．
  組卷：92引用：1難度：0.9

  解析

三、解答題。（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟。

• 20．已知有窮數列{a_n}的各項均不相等，將{a_n}的項由大到小重新排列后相應的項數構成新數列{p_n}，稱{p_n}為{a_n}的“序數列”，例如：數列a₁，a₂，a₃滿足a₁＞a₃＞a₂，則其“序數列”{p_n}為1，3，2．
  （1）若數列{a_n}的通項公式為

  a

  n

  =

  （

  -

  2

  ）

  n

  （

  n

  =

  1

  ，

  2

  ，

  3

  ，

  4

  ）

  ，寫出{a_n}的“序數列”；
  （2）若項數不少于5項的有窮數列{b_n}、{c_n}的通項公式分別為

  b

  n

  =

  n

  ?

  （

  3

  5

  ）

  n

  ，

  c

  n

  =

  -

  n

  2

  +

  t

  ?

  n

  ，且{b_n}的“序數列”與{c_n}的“序數列”相同，求實數t的取值范圍：
  （3）已知有窮數列{a_n}的“序數列”為{p_n}，求證：“{p_n}為等差數列”的充要條件是“{a_n}為單調數列”．
  組卷：47引用：1難度：0.4

  解析

• 21．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  ,

  g

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  a

  x

  2

  +

  bx

  （

  a

  ≠

  0

  ）

  ．
  （1）若a=-2，函數h（x）=f（x）-g（x）在其定義域上是增函數，求實數b的取值范圍；
  （2）設函數φ（x）=x?f（x）+（m-x）f（m-x），0＜x＜m,若φ（x）≥2m-m²恒成立，求實數m的取值范圍；
  （3）設函數f（x）的圖像c₁與函數g（x）的圖像c₂交于點P、Q兩點，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交c₁、c₂于點M、N，問是否存在點R，使c₁在M處的切線與c₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：87引用：1難度：0.4

  解析