2023-2024學年湖南省邵陽市洞口二中高二（上）第一次月考數學試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求）

• 1．已知集合M={x|x+2≥0}，N={x|x-1＜0}．則M∩N=（　?。?/h2>

  A．{x|-2≤x＜1}

  B．{x|-2＜x≤1}

  C．{x|x≥-2}

  D．{x|x＜1}
  組卷：2620難度：0.9

  解析

• 2．設a∈R，（a+i）（1-ai）=2，則a=（　?。?/h2>

  A．-2

  B．-1

  C．1

  D．2
  組卷：89引用：5難度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  a

  ，

  b

  滿足

  |

  a

  +

  b

  |

  =

  |

  a

  -

  2

  b

  |

  ，則向量

  a

  在向量

  b

  上的投影向量為（　　）

  A．- 1 2 b

  B． 1 2 b

  C．-2 b

  D．2 b
  組卷：83引用：4難度：0.8

  解析

• 4．二次函數f（x）=ax²+2x-1在區間（-∞，1）上單調遞增的一個充分不必要條件為（　　）

  A．a＞1

  B．a＜-2

  C． - 1 2 ＜ a ＜ 0

  D．0＜a＜1
  組卷：164難度：0.7

  解析

• 5．沙漏是我國古代的一種計時工具，是用兩個完全相同的圓錐頂對頂疊放在一起組成的（如右圖）．在一個圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點處漏到另一個圓錐中，假定沙子漏下來的速度是恒定的．已知一個沙漏中沙子全部從一個圓錐中漏到另一個圓錐中需總時長為1小時，當上方圓錐中沙子漏至圓錐高度的一半時，所需時間為（　?。?/h2>

  A． 1 3 小時

  B． 7 8 小時

  C． 26 27 小時

  D． 8 9 小時
  組卷：145引用：8難度：0.6

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• 6．已知x+y=1，y＞0，x＞0，則

  1

  2

  x

  +

  x

  y

  +

  1

  的最小值為（　?。?/h2>

  A． 5 4

  B．0

  C．1

  D． 2 2
  組卷：1791引用：12難度：0.6

  解析

• 7．如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB，點M為PA的中點，

  BD

  =λ

  BN

  ．若MN⊥AD，則實數λ為（　?。?/h2>

  A．2

  B．3

  C．4

  D．5
  組卷：173引用：7難度：0.6

  解析

四、解答題（本大題共6個小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面BB₁C₁C為菱形，∠CBB₁=60°，AB=BC=2，

  AC

  =

  A

  B

  1

  =

  2

  ．
  （1）證明：平面ACB₁⊥平面BB₁C₁C；
  （2）求平面ACC₁A₁與平面A₁B₁C₁夾角的余弦值．
  組卷：68難度：0.4

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• 22．某足球俱樂部舉辦新一屆足球賽，按比賽規則，進入淘汰賽的兩支球隊如果在120分鐘內未分出勝負，則需進行點球大戰．點球大戰規則如下：第一階段，雙方各派5名球員輪流罰球，雙方各罰一球為一輪，球員每罰進一球則為本方獲得1分，未罰進不得分，當分差拉大到即使落后一方剩下的球員全部罰進也不能追上的時候，比賽即宣告結束，剩下的球員無需出場罰球．若5名球員全部罰球后雙方得分一樣，則進入第二階段，雙方每輪各派一名球員罰球，直到出現某一輪一方罰進而另一方未罰進的局面，則罰進的一方獲勝．設甲、乙兩支球隊進入點球大戰，由甲隊球員先罰球，甲隊每位球員罰進點球的概率均為

  1

  2

  ，乙隊每位球員罰進點球的概率均為

  2

  3

  ．假設每輪罰球中，兩隊進球與否互不影響，各輪結果也互不影響．
  （1）求每一輪罰球中，甲、乙兩隊打成平局的概率；
  （2）若在點球大戰的第一階段，甲隊前兩名球員均得分而乙隊前兩名球員均未得分，甲隊暫時以2：0領先，求甲隊第5個球員需出場罰球的概率．
  組卷：354難度：0.6

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