2022-2023學年天津市南開中學高二（上）質檢數學試卷（一）

一．選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．本大題共10小題，每小題4分，共40分．

• 1．已知向量

  a

  =（1，2，3），

  b

  =（0，1，2），則2

  a

  -

  b

  =（　　）

  A．（2，3，4）

  B．（2，3，3）

  C．（2，5，8）

  D．（2，4，6）
  組卷：144引用：5難度：0.8

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• 2．已知三角形ABC的三個頂點分別為A（1，0），B（2，-3），C（3，3），則AB邊上的中線所在直線的方程為（　?。?/h2>

  A．x-y=0

  B．x+y-6=0

  C．3x-y-6=0

  D．3x+y-12=0
  組卷：441難度：0.8

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• 3．圓x²+y²-4x-2y+1=0與圓x²+y²+2x-2y+1=0的公切線有（　　）

  A．1條

  B．2條

  C．3條

  D．4條
  組卷：283難度：0.7

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• 4．與直線y=

  3

  x切于點

  A

  （

  3

  ，

  3

  ）

  ，且圓心在x軸上的圓的方程為（　?。?/h2>

  A．（x-4）2+y2=4	B． （ x - 2 3 ） 2 + y 2 =16
  C． （ x + 4 3 ） 2 + y 2 =36	D． （ x - 4 3 ） 2 + y 2 =36
  組卷：206引用：3難度：0.7

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• 5．若過點P（1，-1）的直線l與直線y=-2x+3的交點位于第一象限，則直線l斜率的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．（-4，2）	B．（-∞，-4]∪[2，+∞）
  C．（-∞，-4）∪（2，+∞）	D．（-∞，-2）∪（2，+∞）
  組卷：199引用：4難度：0.7

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• 6．從點A（-4，1）出發的一條光線l,經過直線l₁：x-y+3=0反射，反射光線恰好經過點B（-3，2），則反射光線所在直線的斜率為（　?。?/h2>

  A．-2

  B．-3

  C．- 1 3

  D．- 3 5
  組卷：498引用：6難度：0.8

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三．解答題：本大題共3小題，共36分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

• 18．為方便師生行動，我校正實施翔宇樓電梯加裝工程．我們借此構造了以下模型：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，它抽象自翔宇樓南側樓心花園所占據的空間，設AB=BC=8，AA₁=12，O為底面ABCD的中心，正四棱柱OECF-O₁E₁C₁F₁與正四棱柱OECF-O₂E₂C₂F₂分別代表電梯井與電梯廂，設OO₂=2，M為棱FF₁的中點，N，K分別為棱AA₁，DD₁上的點，AN=8，DK=4．
  （I）求證：OM∥平面A₁CF₁；
  （Ⅱ）求直線A₁O與平面A₁CF₁所成角的正弦值；
  （Ⅲ）“你站在橋上看風景，看風景的人在樓上看你．明月裝飾了你的窗子，你裝飾了別人的夢．”卞之琳詩句中的情景其實正在我們的生活中反復上演，上官瑣艾同學站在樓心花園的中心（O點），她正目送著倚立在電梯廂一角的歐陽南德同學，假定上官同學的目光聚焦于棱OO₂的中點I，此時，電梯廂中歐陽同學的目光正徘徊在位于N點的數學辦公室與位于K點的數學實驗室，當電梯廂向上啟動時，在這時空里便誕生了由點O與移動著的平面INK所勾勒的動人風景．現在，請作為“正在看風景的人”的你完成以下問題：當電梯廂自底部（平面OECF與平面ABCD重合）運行至頂端（平面O₂E₂C₂F₂與平面A₁B₁C₁D₁重合）的過程中，點O到平面INK距離的最大值．
  組卷：128引用：3難度：0.3

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• 19．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的離心率為

  2

  2

  ，直線y=x被橢圓C截得的線段長為

  8

  3

  3

  ．
  （Ⅰ）求橢圓C的方程；
  （Ⅱ）直線l是圓O：x²+y²=r²的任意一條不垂直于坐標軸的切線，l與橢圓C交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓恒過原點，求：
  （i）圓O的方程；
  （ⅱ）|AB|的最大值．
  組卷：205難度：0.3

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