2023-2024學年黑龍江省哈爾濱三中高二（上）期中數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．拋物線y²=-8x的準線方程為（　　）

  A．x=-2

  B．x=-1

  C．y=1

  D．x=2
  組卷：757引用：20難度：0.9

  解析

• 2．雙曲線9x²-16y²=144的焦點坐標為（　　）

  A． （ - 7 ， 0 ） ， （ 7 ， 0 ）	B． （ 0 ，- 7 ） ， （ 0 ， 7 ）
  C．（-5，0），（5，0）	D．（0，-5），（0，5）
  組卷：147引用：2難度：0.8

  解析

• 3．若點P到點F（2，0）的距離比它到直線x+3=0的距離小1，則點P的軌跡方程是（　　）

  A．y2=2x

  B．y2=4x

  C．y2=8x

  D．x2=8y
  組卷：92引用：6難度：0.7

  解析

• 4．若直線l₁：x+λy+9=0與直線l₂：（λ-2）x+3y+3λ=0平行，則λ的值為（　　）

  A．3

  B．-1

  C．3或-1

  D．2
  組卷：142引用：3難度：0.7

  解析

• 5．如圖，一拋物線型拱橋的拱頂O比水面高2米，水面寬度|AB|=12米．水面下降1米后水面寬（　　）米．

  A． 3 6

  B． 8 3

  C． 6 6

  D． 12 3
  組卷：55引用：1難度：0.5

  解析

• 6．已知雙曲線E：

  x

  2

  3

  -

  y

  2

  =1，直線l：y=kx+1，若直線l與雙曲線E的兩個交點分別在雙曲線的兩支上，則k的取值范圍是（　　）

  A． k ＜ - 3 3 或 k ＞ 3 3	B． - 3 3 ＜ k ＜ 3 3
  C． k ＜ - 3 或 k ＞ 3	D． - 3 ＜ k ＜ 3
  組卷：124引用：5難度：0.6

  解析

• 7．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F與橢圓

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  16

  =

  1

  的右焦點重合．斜率為k（k＞0）的直線l經過點F，且與C的交點為A，B．若|AF|=2|BF|，則直線l的斜率為（　　）

  A．1

  B． 2

  C． 2 4

  D． 2 2
  組卷：146引用：1難度：0.5

  解析

四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的焦點與橢圓

  x

  2

  2

  +

  2

  y

  2

  =1的焦點相同，且雙曲線C經過點P（1，1）．
  （1）求雙曲線C的標準方程；
  （2）設A，B為雙曲線C上異于點P的兩點，記直線PA，PB的斜率為k₁，k₂，若（k₁-1）（k₂-1）=1．求直線AB恒過的定點．
  組卷：91引用：2難度：0.5

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• 22．有一個半徑為4

  2

  的圓形紙片，設紙片上一定點F到紙片圓心E的距離為2

  6

  ，將紙片折疊，使圓周上一點M與點F重合，以點F，E所在的直線為x軸，線段EF的中點O為原點建立平面直角坐標系．記折痕與ME的交點Q的軌跡為曲線C．
  （1）求曲線C的方程；
  （2）P為曲線C上第一象限內的一點，過點P作圓M：（x+1）²+y²=1的兩條切線，分別交y軸于D，H兩點，且|DH|=

  3

  2

  ，求點P的坐標；
  （3）在（2）的條件下，直線l與曲線C交于A，B兩點，且直線PA，PB的傾斜角互補，判斷直線AB的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
  組卷：55引用：1難度：0.3

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