2022-2023學年廣東省深圳市南山區高二（上）期末數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．拋物線x²=4y的焦點坐標是（　　）

  A．（1，0）

  B．（0，1）

  C．（2，0）

  D．（0，2）
  組卷：214引用：63難度：0.9

  解析

• 2．若

  {

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }

  構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（　　）

  A． a + c ， a ， a - c	B． a ， a + b ， 2 a + b
  C． a ， a + b ， c	D． a + b ， a + b + c ， c
  組卷：251引用：2難度：0.7

  解析

• 3．設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₂=2，且S₄=10，則{a_n}的公差為（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C． 3 2

  D．2
  組卷：316引用：3難度：0.7

  解析

• 4．已知橢圓C：

  x

  2

  3

  +

  k

  +

  y

  2

  5

  -

  k

  =

  1

  的焦點在y軸上，則實數k的取值范圍為（　　）

  A．（-3，1）

  B．（1，5）

  C．（-3，5）

  D．（1，3）
  組卷：1531引用：3難度：0.8

  解析

• 5．已知A（2，-3），B（2，1），若直線l經過點P（0，-1），且與線段AB有交點，則l的斜率的取值范圍為（　　）

  A．（-∞，-2]∪[2，+∞）	B．[-2，2]
  C．（-∞，-1]∪[1，+∞）	D．[-1，1]
  組卷：863引用：7難度：0.7

  解析

• 6．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=BC，且AC⊥BC，已知E為BC的中點，則異面直線A₁C與C₁E所成角的余弦值為（　　）

  A． 15 5

  B． 10 5

  C． 3 10 10

  D． 10 10
  組卷：215引用：1難度：0.7

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• 7．已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，以|F₁F₂|為直徑的圓與C的左支交于M，N兩點，若

  ∠

  M

  F

  1

  N

  =

  2

  π

  3

  ，則C的離心率為（　　）

  A． 3 + 1 2

  B． 3

  C． 3 + 1

  D． 2 3
  組卷：300引用：3難度：0.7

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四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟

• 21．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為正方形，側面ADD₁A₁為菱形，且平面ADD₁A₁⊥平面ABCD．
  （1）證明：AD₁⊥A₁C；
  （2）設點P在棱A₁B₁上運動，若∠A₁AD=

  π

  3

  ，且AB=2，記直線AD₁與平面PBC所成的角為θ，當sinθ=

  1

  4

  時，求A₁P的長度．
  組卷：125引用：1難度：0.4

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• 22．已知點F為拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，定點A（1，a）（其中常數a滿足a²＜2p），動點P在C上，且|PF|+|PA|的最小值為2．
  （1）求C的方程；
  （2）過A作兩條斜率分別為k₁，k₂的直線l₁，l₂，記l₁與C的交點為B，D，l₂與C的交點為E，G，且線段BD，EG的中點分別為M，N．
  （i）當a=0，且k₁k₂=-1時，求△AMN面積的最小值；
  （ii）當k₁+k₂=1時，證明：直線MN恒過定點．
  組卷：211引用：1難度：0.5

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