2022-2023學年北京師大附中高二（下）期中數學試卷

一、選擇題（每小題4分，共48分，每題均只有一個正確答案）

• 1．橢圓

  x

  2

  9

  +

  y

  2

  4

  =

  1

  的長軸長為（　　）

  A．3

  B．6

  C．8

  D．9
  組卷：195引用：3難度：0.7

  解析

• 2．拋物線x²=4y的準線方程為（　　）

  A．y=-2

  B．x=-2

  C．y=-1

  D．x=-1
  組卷：190引用：5難度：0.8

  解析

• 3．函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  x

  在點x=1處的導數值是（　　）

  A．1

  B．-1

  C． - 1 2

  D． 1 2
  組卷：74引用：3難度：0.8

  解析

• 4．已知雙曲線

  x

  2

  a

  -

  y

  2

  =1（a＞0）的一條漸近線方程為x+2y=0，則其離心率為（　　）

  A． 5 2

  B． 17 4

  C． 3 2

  D． 15 4
  組卷：198引用：4難度：0.7

  解析

• 5．我國古代有輝煌的數學研究成果，其中《周髀算經》，《九章算術》，《海島算經》，《孫子算經》均有著十分豐富的內容．某中學計劃將這4本專著作為高中階段“數學文化”校本課程選修內容，要求每學年至少選一科，三學年必須將4門選完，則小南同學的不同選修方式有（　　）種．

  A．12

  B．24

  C．36

  D．72
  組卷：107引用：3難度：0.6

  解析

• 6．若

  （

  x

  -

  3

  ）

  2

  （

  x

  +

  1

  ）

  8

  =

  a

  0

  +

  a

  1

  x

  +

  a

  2

  x

  2

  +

  ?

  +

  a

  10

  x

  10

  ，則log₂（a₀+a₁+a₂+?+a₁₀）=（　　）

  A．8

  B．9

  C．10

  D．12
  組卷：91引用：2難度：0.6

  解析

• 7．（理）有5個人排成一排，其中甲與乙不相鄰，而丙與丁相鄰，則不同的排法種數為（　　）

  A．72

  B．48

  C．24

  D．60
  組卷：216引用：7難度：0.9

  解析

三、解答題（共5小題，共72分.解答時寫出文字說明，演算步驟或證明過程）

• 22．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  ax

  -

  x

  2

  e

  x

  ．
  （Ⅰ）當a=-1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
  （Ⅱ）當a＞0時，求證：

  f

  （

  x

  ）

  ＞

  -

  2

  e

  對任意x∈（0，+∞）成立．
  組卷：256引用：4難度：0.9

  解析

• 23．已知{a_n}是由非負整數組成的無窮數列，該數列前n項的最大值記為A_n，第n項之后各項a_n+1，a_n+2…的最小值記為B_n，d_n=A_n-B_n．
  （Ⅰ）若{a_n}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個周期為4的數列（即對任意n∈N^*，a_n+4=a_n），寫出d₁，d₂，d₃，d₄的值；
  （Ⅱ）設d是非負整數，證明：d_n=-d（n=1，2，3…）的充分必要條件為{a_n}是公差為d的等差數列；
  （Ⅲ）證明：若a₁=2，d_n=1（n=1，2，3，…），則{a_n}的項只能是1或者2，且有無窮多項為1．
  組卷：774引用：9難度：0.3

  解析