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2023-2024學年江蘇省常熟市高二（上）期中數學試卷

發布：2024/10/17 1:0:1

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．設S_n是等差數列{a_n}的前n項和，若a₂+a₅+a₈=18，則S₉=（　　）
A．36 B．45 C．54 D．63
組卷：415引用：8難度：0.7
解析
2．圓x²+y²-2x=0的圓心到直線2x+y-1=0的距離為（　　）
A．0 B．1 C．
3
3
D．
5
5
組卷：82引用：1難度：0.9
解析
3．數列{a_n}中，
a
n
=
1
n
+
n
+
1
，S_n=8，則n=（　　）
A．77 B．78 C．79 D．80
組卷：155引用：2難度：0.6
解析
4．直線l₁：ax+3y+a²-5=0，l₂：x+（a-2）y+4=0，若兩條直線平行，則實數a=（　　）
A．-1 B．1 C．3 D．-1或3
組卷：42引用：6難度：0.8
解析
5．若直線l：kx-y-1=0與曲線
C
：
1
-
（
y
-
1
）
2
=
x
-
1
有兩個不同的交點，則實數k的取值范圍是（　　）
A．
（
3
4
，
1
]
B．
（
3
4
，
3
）
C．
[
-
1
，-
3
4
]
∪
（
3
4
，
1
]
D．
（
3
4
，
+
∞
）
組卷：93引用：3難度：0.5
解析
6．數學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點）、重心（三邊中線的交點）、垂心（三邊高的交點）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點為A（0，0），B（5，0），C（2，4），則該三角形的歐拉線方程為（　　）
A．x+2y-5=0 B．x-2y-5=0 C．2x+y-10=0 D．2x-y-10=0
組卷：734引用：10難度：0.5
解析
7．已知a₁=1，a₂=1，a_n=a_n-1+2a_n-2+1（n≥3，n∈N^*），S_n為其前n項和，則S₆₀=（　　）
A．2³⁰-31 B．4³⁰-31 C．2³⁰-30 D．4³⁰-30
組卷：113引用：5難度：0.5
解析

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四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

21．已知數列{a_n}的前n項和記為A_n，且
A
n
=
n
（
a
1
+
a
n
）
2
，數列{b_n}是公比為q的等比數列，它的前n項和記為B_n．若a₁=b₁≠0，且存在不小于3的正整數m,k,使得a_k=b_m．
（1）若a₁=1，a₃=5，求a₂的值；
（2）求證：數列{a_n}是等差數列；
（3）若q=2，是否存在正整數m,k,使得A_k=65B_m？若存在，求出m,k的值；若不存在，請說明理由．
組卷：62引用：2難度：0.3
解析
22．已知線段AB的端點B的坐標是（6，4），端點A的運動軌跡是曲線C，線段AB的中點M的軌跡方程是（x-4）²+（y-2）²=1．
（1）求曲線C的方程；
（2）已知斜率為k的直線l與曲線C相交于兩點E，F（異于原點O）直線OE，OF的斜率分別為k₁，k₂，且k₁k₂=5，
①證明：直線l過定點P，并求出點P的坐標；
②若BD⊥EF，D為垂足，證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．
組卷：195引用：4難度：0.5
解析