2023-2024學(xué)年天津二十中高二（上）第一次統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

• 1．已知向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  2

  ，

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  -

  2

  ，

  1

  ，

  1

  ）

  ，則向量

  b

  在向量

  a

  上的投影向量為（　　）

  A． （ - 2 9 ，- 4 9 ，- 4 9 ）	B． （ 2 9 ， 4 9 ， 4 9 ）
  C． （ - 2 3 ， 1 3 ， 1 3 ）	D． （ 2 3 ，- 1 3 ，- 1 3 ）
  組卷：811引用：12難度：0.7

  解析

• 2．已知直線l的傾斜角為

  3

  π

  4

  ，直線l₁經(jīng)過點(diǎn)A（3，2）和B（a,-1），且直線l與l₁垂直，則a的值為（　　）

  A．1

  B．6

  C．0或6

  D．0
  組卷：284引用：9難度：0.8

  解析

• 3．如圖，平行六面體ABCD-A′B′C′D′，其中AB=4，AD=3，AA′=3，∠BAD=90°，∠BAA′=60°，∠DAA′=60°，則AC′的長為（　　）

  A． 55

  B． 65

  C． 85

  D． 95
  組卷：255引用：14難度：0.7

  解析

• 4．已知三棱錐O-ABC，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  用

  a

  ，

  b

  ，

  c

  表示

  MN

  ，則

  MN

  等于（　　）

  A． 1 2 （ b + c - a ）

  B． 1 2 （ a + b + c ）

  C． 1 2 （ a - b + c ）

  D． 1 2 （ c - a - b ）
  組卷：1475引用：13難度：0.7

  解析

• 5．在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是CC₁，AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和FD₁所成角的余弦值等于（　　）

  A． 15 5

  B． 10 5

  C． 4 5

  D． 2 3
  組卷：190引用：12難度：0.7

  解析

• 6．已知{

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }是空間的一組基底，則可以與向量

  p

  =

  a

  +

  b

  ，

  q

  =

  a

  -

  b

  構(gòu)成基底的向量是（　　）

  A． a

  B． b

  C． a +2 b

  D． a + c
  組卷：321引用：8難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共4小題，共36.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

• 19．如圖，在三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=4，A₁A=A₁B₁=2，側(cè)棱A₁A⊥平面ABC，點(diǎn)D是棱CC₁的中點(diǎn)．
  （1）證明：BB₁⊥平面AB₁C；
  （2）求平面BCD與平面ABD的夾角的余弦值．
  組卷：104引用：6難度：0.6

  解析

• 20．如圖：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=1，D是棱BB₁的中點(diǎn)，P是C₁D的延長線與CB的延長線的交點(diǎn)．
  （1）求證：AP∥平面A₁CD；
  （2）求平面A₁CD與平面A₁C₁D的夾角的余弦值；
  （3）若點(diǎn)E在線段AP上，且直線A₁E與平面A₁CD所成的角的正弦值為

  14

  7

  ，求線段AE的長．
  組卷：148引用：2難度：0.5

  解析