2022-2023學年江蘇省南京十三中高三（上）學情調研數學試卷（四）

一、選擇題。本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．已知集合A={a₁，a₂，a₃}的所有非空真子集的元素之和等于9，則a₁+a₂+a₃=（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．6
  組卷：347引用：5難度：0.8

  解析

• 2．已知a∈R，若a²-1+（a-1）i是純虛數，則a=（　　）

  A．-1或1

  B．0

  C．-1

  D．0或1
  組卷：103引用：3難度：0.8

  解析

• 3．已知sin（α-

  π

  3

  ）+

  3

  cosα=

  1

  3

  ，則sin（2α+

  π

  6

  ）=（　　）

  A． 2 3

  B． 2 9

  C．- 1 9

  D． - 7 9
  組卷：538引用：11難度：0.7

  解析

• 4．在△ABC中，D是直線AB上的點．若2

  BD

  =

  CB

  +λ

  CA

  ，記△ACB的面積為S₁，△ACD的面積為S₂，則

  S

  1

  S

  2

  =（　?。?/h2>

  A． λ 6

  B． λ 2

  C． 1 3

  D． 2 3
  組卷：621引用：2難度：0.7

  解析

• 5．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（　?。?/h2>

  A． 1 3

  B． 1 2

  C． 3 3

  D． 2 2
  組卷：4926引用：9難度：0.6

  解析

• 6．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  co

  s

  2

  （

  ωx

  2

  -

  π

  3

  ）

  -

  5

  （

  ω

  ＞

  0

  ）

  ，若對任意的實數t,f（x）在區間（t,t+6）上的值域均為[-5，-3]，則ω的取值范圍為（　　）

  A． （ 0 ， π 3 ）

  B． （ π 6 ， + ∞ ）

  C． （ π 3 ， + ∞ ）

  D． [ π 3 ， + ∞ ）
  組卷：141引用：5難度：0.6

  解析

• 7．已知橢圓C₁：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0），拋物線C₂：y²=4x,且C₁與C₂在第一象限的交點為P，且C₁和C₂在P處的切線斜率之積為-

  1

  4

  ，則C₁的離心率為（　　）

  A． 1 2

  B． 3 2

  C． 1 4

  D． 2 2
  組卷：209難度：0.5

  解析

四、解答題。本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．已知橢圓C：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（0＜b＜2），直線l₁：y=x+m與C交于A，B兩點，且|AB|的最大值為

  4

  6

  3

  ．
  （1）求C的方程；
  （2）當|AB|=

  4

  6

  3

  時，斜率為-2的直線l₂與C交于P，Q兩點（P，Q兩點在直線l₁的異側），若四邊形APBQ的面積為

  16

  6

  9

  ，求l₂的方程．
  組卷：27引用：1難度：0.5

  解析

• 22．已知函數f（x）=（x²+x+a）lnx+b.
  （1）當-1＜a＜0時，f（x）＞0，求整數b的最小值；
  （2）若

  1

  2

  ＜a＜1，且0＜b＜a,證明：f（x）只有一個零點．
  組卷：58引用：2難度：0.2

  解析