2021-2022學(xué)年湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）

• 1．已知

  a

  =（1，3，-1），

  b

  =（2，k,5），若

  a

  ⊥

  b

  ，則實數(shù)k的值為（　　）

  A．1

  B．-1

  C． 7 3

  D． - 7 3
  組卷：384引用：6難度：0.8

  解析

• 2．已知過點P（2，2）的直線與圓（x-1）²+y²=5相切，且與直線ax-y+1=0平行，則a=（　　）

  A．2

  B．1

  C． - 1 2

  D． 1 2
  組卷：1149引用：10難度：0.7

  解析

• 3．若直線m的斜率

  k

  ∈

  （

  -

  ∞

  ，-

  1

  ）

  ∪

  （

  1

  ，

  3

  ]

  ，則直線m的傾斜角的取值范圍是（　　）

  A． （ 3 π 4 ， π ） ∪ [ π 6 ， π 4 ）	B． （ π 2 ， 3 π 4 ） ∪ （ π 4 ， π 3 ]
  C． （ π 2 ， 3 π 4 ） ∪ [ π 6 ， π 4 ）	D． （ 3 π 4 ， π ） ∪ （ π 4 ， π 3 ]
  組卷：342引用：4難度：0.8

  解析

• 4．已知a＞0，b＞0，直線l₁：x+（a-4）y+1=0，l₂：2bx+y-2=0，且l₁⊥l₂，則

  1

  a

  +

  1

  +

  1

  2

  b

  的最小值為（　　）

  A．2

  B．4

  C． 2 3

  D． 4 5
  組卷：719引用：15難度：0.7

  解析

• 5．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，若2a₃，

  1

  2

  a

  5

  ，a₄成等差數(shù)列，則

  a

  8

  +

  a

  9

  a

  6

  +

  a

  7

  =（　　）

  A． 1 2

  B． 1 2

  C．2

  D．4
  組卷：542引用：6難度：0.7

  解析

• 6．如圖，在四面體OABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，已知OA=OB=2，OC=1，則直線OC與平面ABC所成角的正弦值為（　　）

  A． 6 6

  B． 3 4

  C． 3 3

  D． 6 3
  組卷：335引用：4難度：0.5

  解析

• 7．已知F是拋物線x²=y的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點到x軸的距離為（　　）

  A． 3 4

  B．1

  C． 5 4

  D． 7 4
  組卷：134引用：6難度：0.7

  解析

四、解答題：（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  -

  2

  x

  2

  -

  a

  ．
  （Ⅰ）當a=3時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
  （Ⅱ）當a＜0時，證明：f（x）存在最大值，且

  f

  （

  x

  ）

  ＜

  1

  8

  恒成立．
  組卷：63引用：2難度：0.6

  解析

• 22．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）過點A（0，1），且離心率為

  3

  2

  ．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）過A作斜率分別為k₁，k₂的兩條直線，分別交橢圓于點M，N，且k₁+k₂=2，證明：直線MN過定點．
  組卷：1339引用：9難度：0.7

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