2020-2021學年江蘇省南通市海門一中高二（上）期末數學試卷

一、單項選擇題：本大題共8小題．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請把答案填涂在答題卡相應的位置上．

• 1．在復平面xOy內，復數z對應的向量

  OZ

  =（1，-1），

  z

  是復數z的共軛復數，i為虛數單位，則復數z²+

  z

  的虛部是（　　）

  A．1

  B．-1

  C．-i

  D．-3
  組卷：10引用：1難度：0.8

  解析

• 2．若數列{a_n}的前n項和為S_n，通項公式為

  a

  n

  =

  2

  n

  ，則滿足

  1

  u

  S

  n

  +

  v

  =

  1

  a

  n

  -

  1

  a

  n

  +

  1

  （

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  的實數對（u,v）為（　　）

  A．（1，0）

  B．（1，2）

  C．（1，-2）

  D．（2，2）
  組卷：9引用：1難度：0.8

  解析

• 3．任何一個復數z=a+bi（其中a,b∈R，i為虛數單位）都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常稱之為復數z的三角形式．法國數學家棣莫弗發現：[r（cosθ+isinθ）]ⁿ=rⁿ（cosnθ+isinnθ）（n∈Z），我們稱這個結論為棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“n為偶數”是“復數

  （

  cos

  π

  2

  +

  isin

  π

  2

  ）

  n

  （

  n

  ∈

  Z

  ）

  為實數”的（　　）

  A．充分不必要	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：95引用：3難度：0.8

  解析

• 4．若命題：“?x₀∈R，ax²-ax-2＞0”為假命題，則a的取值范圍是（　　）

  A．（-∞，-8]∪[0，+∞）	B．（-8，0）
  C．（-∞，0]	D．[-8，0]
  組卷：161引用：4難度：0.9

  解析

• 5．已知曲線C的方程為

  x

  2

  k

  2

  -

  1

  -

  y

  2

  3

  -

  k

  =

  1

  （

  k

  ∈

  R

  ）

  ，則下列結論正確的是（　　）

  A．當k=4時，曲線C為橢圓，其焦距為8

  B．當k=2時，曲線C為雙曲線，其離心率為 2 3 3

  C．存在實數k,使得曲線C為焦點在y軸上的雙曲線

  D．存在實數k,使得曲線C為焦點在y軸上的橢圓
  組卷：21引用：1難度：0.6

  解析

• 6．若曲線y=xe^x-ax與直線x-y=0相切（e是自然對數的底數），則實數a的值為（　　）

  A．e

  B．-1

  C． e

  D．0
  組卷：79引用：2難度：0.6

  解析

• 7．中國當代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“二百五十二里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其意思為：“有一個人走252里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，則最后一天走了（　　）

  A．4里

  B．16里

  C．64里

  D．128里
  組卷：151引用：5難度：0.7

  解析

四、解答題：本大題共6小題．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左頂點和右焦點F的距離與右焦點F到橢圓C的右準線的距離相等，且橢圓C的通徑（過橢圓的焦點，且與長軸垂直的弦）長為3．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）設直線l過點F，且與坐標軸不垂直，與橢圓C相交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點B．
  ①當

  BF

  =

  6

  7

  時，求直線l的方程；
  ②求證：

  PQ

  BF

  為定值．
  組卷：49引用：1難度：0.6

  解析

• 22．設a∈R，函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  -

  ax

  +

  1

  x

  2

  ．
  （1）求函數f（x）的導函數f′（x）的最大值（用a表示）；
  （2）若對?x≥1，f（x）≤0成立，求實數a的取值范圍；
  （3）已知函數f（x）存在極大值與極小值．記函數f（x）的極大值為M，求證：

  M

  ＞

  1

  4

  ．
  組卷：19引用：1難度：0.3

  解析