2021-2022學年江蘇省南通市海安實驗中學高一（下）期中數(shù)學試卷

一、選擇題。本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．設(shè)集合U={x|x＜5，x∈N^*}，M={x|x²-5x+4=0}，則?_UM=（　　）

  A．{2，3}

  B．{1，5}

  C．{1，4}

  D．{2，3，5}
  組卷：328引用：5難度：0.9

  解析

• 2．已知復(fù)數(shù)

  z

  =

  3

  -

  4

  i

  2

  -

  i

  ，則

  z

  的虛部是（　　）

  A．-i

  B．-1

  C．i

  D．1
  組卷：129引用：4難度：0.8

  解析

• 3．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為B₁D₁的中點，則直線PB與AC所成的角為（　　）

  A． π 2

  B． π 3

  C． π 4

  D． π 6
  組卷：30引用：2難度：0.7

  解析

• 4．十七世紀德國著名的天文學家開普勒曾經(jīng)這樣說過“幾何學里面有兩件寶，一個是勾股定理，一個是黃金分割，如果把勾股定理比作金礦的話，那么可以把黃金分割比作磚石”，黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為最美的三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108°的等腰三角形），如圖所示的五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，在其中一個黃金△ABC中，

  BC

  AC

  =

  5

  -

  1

  2

  ，根據(jù)這些信息可得cos36°=（　　）

  A．- 5 + 1 4

  B． 2 5 - 1 4

  C． 5 + 3 8

  D． 5 + 1 4
  組卷：35引用：3難度：0.6

  解析

• 5．已知向量

  e

  =

  （

  3

  2

  ，-

  1

  2

  ）

  ，

  a

  =

  （

  3

  ，

  1

  ）

  ，則向量

  a

  在向量

  e

  上的投影向量為（　　）

  A． - e

  B． e

  C． a

  D．-1
  組卷：100引用：4難度：0.8

  解析

• 6．在下列四個正方體中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  組卷：946引用：40難度：0.6

  解析

• 7．設(shè)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且f（1+x）=f（-x）．若f（-

  1

  3

  ）=

  1

  3

  ，則f（

  5

  3

  ）=（　　）

  A．- 5 3

  B．- 1 3

  C． 1 3

  D． 5 3
  組卷：7358引用：45難度：0.7

  解析

四、解答題。本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點．
  （Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
  （Ⅱ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由．
  組卷：55引用：2難度：0.5

  解析

• 22．已知O為坐標原點，對于函數(shù)f（x）=asinx+bcosx,稱向量

  OM

  =

  （

  a

  ,

  b

  ）

  為函數(shù)f（x）的相伴特征向量，同時稱函數(shù)f（x）為向量

  OM

  的相伴函數(shù)．
  （1）若

  OT

  =

  （

  -

  3

  ，

  1

  ）

  為

  h

  （

  x

  ）

  =

  msin

  （

  x

  -

  π

  6

  ）

  的相伴特征向量，求實數(shù)m的值；
  （2）記向量

  ON

  =

  （

  1

  ，

  3

  ）

  的相伴函數(shù)為f（x），求當

  f

  （

  x

  ）

  =

  8

  5

  且

  x

  ∈

  （

  -

  π

  3

  ，

  π

  6

  ）

  時sinx的值；
  （3）已知A（-2，3），B（2，6），h（x）為（1）中函數(shù)，

  φ

  （

  x

  ）

  =

  h

  （

  x

  2

  -

  π

  3

  ）

  ，請問在y=φ（x）的圖象上是否存在一點P，使得

  AP

  ⊥

  BP

  ，若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．
  組卷：114引用：6難度：0.4

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