2009年“數學周報杯”全國初中數學競賽決賽試卷

一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）

• 1．已知非零實數a,b滿足|2a-4|+|b+2|+

  （

  a

  -

  3

  ）

  b

  2

  +4=2a,則a+b等于（　　）

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．2
  組卷：3106引用：25難度：0.9

  解析

• 2．如圖，菱形ABCD的邊長為a,點O是對角線AC上的一點，且OA=a,OB=OC=OD=1，則a等于（　　）

  A． 5 + 1 2

  B． 5 - 1 2

  C．1

  D．2
  組卷：826引用：12難度：0.9

  解析

• 3．將一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點數為a,第二次擲出的點數為b,則使關于x,y的方程組

  ax + by = 3

  x + 2 y = 2

  只有正數解的概率為（　　）

  A． 1 12

  B． 2 9

  C． 5 18

  D． 13 36
  組卷：1974引用：14難度：0.5

  解析

• 4．如圖1，在直角梯形ABCD，∠B=90°，DC∥AB，動點P從B點出發，由B--C--D--A沿邊運動，設點P運動的路程為x,△ABP的面積為y,如果關于x的函數y的圖象如圖2，則△ABC的面積為（　　）
  

  A．10

  B．16

  C．18

  D．32
  組卷：305引用：60難度：0.9

  解析

三、解答題（共4小題，滿分80分）

• 13．如圖，給定銳角三角形ABC，BC＜CA，AD，BE是它的兩條高，過點C作△ABC的外接圓的切線l,過點D，E分別作l的垂線，垂足分別為F，G．試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結論．
  組卷：624引用：9難度：0.3

  解析

• 14．n個正整數a₁，a₂，…，a_n滿足如下條件：1=a₁＜a₂＜…＜a_n=2009；且a₁，a₂，…，a_n中任意n-1個不同的數的算術平均數都是正整數．求n的最大值．
  組卷：237引用：3難度：0.1

  解析