2023-2024學年廣東省廣州中學高二（上）期中數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．在直角坐標系xOy中，在y軸上截距為-1且傾斜角為

  3

  π

  4

  的直線方程為（　?。?/h2>

  A．x+y+1=0

  B．x+y-1=0

  C．x-y+1=0

  D．x-y-1=0
  組卷：1066引用：11難度：0.9

  解析

• 2．若直線l∥α，且l的方向向量為（2，m,1），平面α的法向量為

  （

  1

  ，

  1

  2

  ，

  2

  ）

  ，則m為（　?。?/h2>

  A．-4

  B．-6

  C．-8

  D．8
  組卷：36引用：1難度：0.7

  解析

• 3．兩條直線l₁：ax+（1+a）y=3，l₂：（a+1）x+（3-2a）y=2互相垂直，則a的值是（　?。?/h2>

  A．0

  B．-1

  C．-1或3

  D．0或-1
  組卷：151引用：5難度：0.7

  解析

• 4．如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M為BC的中點，N為A₁C₁靠近A₁的三等分點，設

  AB

  =

  a

  ，

  AC

  =

  b

  ，

  A

  A

  1

  =

  c

  ，則用

  a

  ，

  b

  ，

  c

  表示

  NM

  為（　　）

  A． 1 2 a + 1 6 b - c

  B． - 1 2 a + 1 6 b + c

  C． 1 2 a - 1 6 b - c

  D． - 1 2 a - 1 6 b + c
  組卷：275引用：7難度：0.7

  解析

• 5．“加上一個參數給橢圓，它的形狀會有美妙的變化”歐幾里得如是說，而這個參數就是橢圓的離心率．若橢圓

  x

  2

  m

  +

  y

  2

  4

  =

  1

  的離心率為

  3

  2

  ，則該橢圓的長軸長為（　　）

  A．8

  B．2或4

  C．1或4

  D．4或8
  組卷：84引用：4難度：0.7

  解析

• 6．已知點A（2，-3），B（-5，-2），若直線l：mx+y+m-1=0與線段AB（含端點）有公共點，則實數m的取值范圍為（　?。?/h2>

  A． [ - 4 3 ， 3 4 ]	B． （ - ∞ ，- 4 3 ] ∪ [ 3 4 ， + ∞ ）
  C． [ - 3 4 ， 4 3 ]	D． （ - ∞ ，- 3 4 ] ∪ [ 4 3 ， + ∞ ）
  組卷：254引用：11難度：0.8

  解析

• 7．已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，沿對角線AC折疊之后，使得平面BAC⊥平面DAC，則二面角B-CD-A的余弦值為（　　）

  A．2

  B． 1 2

  C． 3 3

  D． 5 5
  組卷：411引用：8難度：0.8

  解析

四、解答題，本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ADEF的邊長都是1，且它們所在平面互相垂直，活動彈子M，N分別在正方形對角線AE和BD上移動，且EM和DN的長度保持相等，記

  EM

  =

  DN

  =

  a

  （

  0

  ＜

  a

  ＜

  2

  ）

  ，活動彈子Q在EF上移動．
  （1）求證：直線MN∥平面CDE；
  （2）a為何值時，MN的長最??？
  （3）Q為EF上的點，求EB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
  組卷：145引用：3難度：0.3

  解析

• 22．已知點P到A（-2，0）的距離是點P到B（1，0）的距離的2倍．
  （1）求點P的軌跡方程；
  （2）若點P與點Q關于點B對稱，點C（5，8），求|QB|²+|QC|²的最大值；
  （3）若過B的直線與第二問中Q的軌跡交于E，F兩點，試問在x軸上是否存在點M（m,0），使

  ME

  ?

  MF

  恒為定值？若存在，求出點M的坐標和定值；若不存在，請說明理由．
  組卷：98引用：3難度：0.3

  解析