2022-2023學年上海市黃浦區大同中學高二（上）期中數學試卷

一、填空題。（共12題，每題3分）

• 1．一個球的半徑為3，則它的體積是

  ．
  組卷：220引用：7難度：0.8

  解析

• 2．已知等差數列{a_n}中，a₃=7，a₇=3，則數列{a_n}的通項公式是

  ．
  組卷：343引用：5難度：0.9

  解析

• 3．“直線l垂直于平面α內的無數條直線”是“l⊥α”的

  ．
  組卷：318引用：5難度：0.9

  解析

• 4．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線BC₁與平面AA₁B所成角的大小為

  ．
  組卷：78引用：2難度：0.9

  解析

• 5．已知數列{a_n}的通項公式

  a

  n

  =

  1

  n

  （

  n

  +

  1

  ）

  ，則前n項和S_n=

  ．
  組卷：147引用：9難度：0.9

  解析

• 6．在水平放置的平面上，有一個邊長為4cm的正方形，其直觀圖的面積是

  cm²．
  組卷：67引用：4難度：0.8

  解析

• 7．正四棱臺的上、下底面分別為邊長為1和2的正方形，側棱長為1，則該棱臺的側面積為

  ．
  組卷：121引用：3難度：0.7

  解析

三、解答題。（共5題，共48分）

• 20．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

  AC

  =

  BC

  =

  C

  C

  1

  =

  2

  2

  AB

  ，

  E

  是線段CC₁的中點，連接AE、B₁E、AB₁、B₁C，得到的圖形如圖所示．
  （1）證明：BC₁⊥平面AB₁C；
  （2）若AC=2，求三棱錐E-AB₁C的側面積和體積．
  組卷：136引用：1難度：0.6

  解析

• 21．如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長為1的正四棱柱，O₁為A₁C₁與B₁D₁的交點．
  （1）設AB₁與底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小為α，異面直線AD₁與A₁C₁所成角的大小為β，求證：tan²β=2tan²α+1；
  （2）若點C到平面AB₁D₁的距離為

  4

  3

  ，求正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高；
  （3）在（2）的條件下，若正四棱柱側面BB₁C₁C上存在點P滿足P到線段BC的距離與到線段C₁D₁的距離相等，求

  P

  D

  1

  PA

  的最小值．
  組卷：52引用：2難度：0.5

  解析