2022-2023學年遼寧省大連市高三（下）第一次模擬數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．

• 1．已知a∈R，i為虛數單位，若

  a

  -

  i

  3

  +

  i

  為實數，則a=（　?。?/h2>

  A．-3

  B． 1 3

  C．3

  D． - 1 3
  組卷：273引用：13難度：0.9

  解析

• 2．如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義集合A?B為陰影部分表示的集合，若A={x|x=2n+1，n∈N，n≤4}，B={2，3，4，5，6，7}，則A?B=（　?。?/h2>

  A．{1，2，4，6}	B．{2，4，6，9}
  C．{2，3，4，5，6，7}	D．{1，2，4，6，9}
  組卷：131引用：4難度：0.7

  解析

• 3．已知隨機變量X～N（2，σ²），且P（X≤4）=0.84，則P（0＜X≤4）=（　?。?/h2>

  A．0.84

  B．0.68

  C．0.34

  D．0.16
  組卷：442引用：8難度：0.7

  解析

• 4．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，異面直線A₁D與D₁C所成的角為（　?。?/h2>

  A． π 6

  B． π 4

  C． π 3

  D． π 2
  組卷：679引用：13難度：0.7

  解析

• 5．6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，則甲得到4本的概率是（　　）

  A． 1 18

  B． 1 20

  C． 1 30

  D． 1 60
  組卷：149引用：3難度：0.6

  解析

• 6．牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對于非線性可導函數f（x）在x₀附近一點的函數值可用f（x）≈f（x₀）+f'（x₀）（x-x₀）代替，該函數零點更逼近方程的解，以此法連續迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個方法，解方程x³-3x+1=0，選取初始值x₀=

  1

  2

  ，在下面四個選項中最佳近似解為（　?。?/h2>

  A．0.333

  B．0.335

  C．0.345

  D．0.347
  組卷：129引用：3難度：0.6

  解析

• 7．已知對于每一對正實數x,y,函數f（x）滿足：f（x）+f（y）=f（x+y）-xy-1，若f（1）=1，則滿足f（n）=n（n∈N^*）的n的個數是（　?。?/h2>

  A．1個

  B．2個

  C．3個

  D．4個
  組卷：206引用：6難度：0.6

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四．解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．已知雙曲線C={（x,y）|ax²-by²=1（a＞0，b＞0）}和集合Q={（x,y）|0＜ax²-by²＜1（a＞0，b＞0）}，直角坐標平面內任意點N（x₀，y₀），直線l：ax₀x-by₀y=1稱為點N關于雙曲線C的“相關直線”．
  （I）若N∈C，判斷直線l與雙曲線C的位置關系，并說明理由；
  （II）若直線l與雙曲線C的一支有2個交點，求證：N∈Q；
  （Ⅲ）若點N∈Q，點M在直線l上，直線MN交雙曲線C于A，B，求證：

  |

  MA

  |

  |

  AN

  |

  =

  |

  MB

  |

  |

  BN

  |

  ．
  組卷：87引用：2難度：0.5

  解析

• 22．已知函數f（x）=2ae^-x-sinx+1，f′（x）是f（x）的導函數，且f′（0）=0．
  （Ⅰ）求a的值，并證明函數f（x）在x=0處取得極值；
  （Ⅱ）證明：f（x）在區間

  [

  2

  kπ

  ，

  2

  kπ

  +

  π

  2

  ]

  （

  k

  ∈

  N

  ）

  有唯一零點．
  組卷：72引用：1難度：0.2

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