2010年競賽輔導：二次函數的最值問題

一、填空題（共1小題，每小題5分，滿分5分）

• 1．（1）已知函數

  y

  =

  -

  1

  2

  x

  2

  +

  x

  +

  1

  2

  （

  0

  ≤

  x

  ≤

  3

  ）

  ，當x=

  時，y取最大值是

  ；當x=

  時，y取最小值是

  ．
  （2）已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，對稱軸是直線x=2，當

  x

  1

  =

  0

  ，

  x

  2

  =

  3

  ，

  x

  3

  =

  3

  ，對應的值y分別是y₁、y₂、y₃，則y₁、y₂、y₃的大小關系是

  ．
  （3）函數

  y

  =

  2

  -

  4

  x

  -

  x

  2

  （

  0

  ≤

  x

  ≤

  4

  ）

  的最大值與最小值分別是

  ．
  （4）已知二次函數y=x²+2x+a（0≤x≤1）的最大值是3，那么a的值為

  ．
  組卷：423引用：1難度：0.5

  解析

二、解答題（共15小題，滿分0分）

• 2．已知x₁，x₂是方程x²-（k-2）x+（k²+3k+5）=0的兩個實數根，求x₁²+x₂²的最大值和最小值．
  組卷：398引用：2難度：0.7

  解析

• 3．（1）求函數y=|x²-4|-3x在區間-2≤x≤5中的最大值和最小值．
  （2）已知：|y|≤1，且2x+y=1，求2x²+16x+3y²的最小值．
  組卷：233引用：1難度：0.9

  解析

• 4．有兩條拋物線y=x²-3x,y=-x²+9，通過點P（t,0）且平行于y軸的直線，分別交這兩條拋物線于點A和B，當t在0到3的范圍內變化時，求線段AB的最大值．
  組卷：183引用：1難度：0.9

  解析

• 5．已知二次函數y=-9x²-6ax-a²+2a

  （

  -

  1

  3

  ≤

  x

  ≤

  1

  3

  ）

  有最大值-3，求實數a的值．
  組卷：1328引用：2難度：0.5

  解析

二、解答題（共15小題，滿分0分）

• 15．根據某服裝店統計，服裝價格每提高3%，出售服裝的件數就要降低2%，設某種服裝提價x%，結果每天的經營收入（價格×出售件數）為原來的y倍，
  （1）寫出y與x的函數關系；
  （2）要使經營收入不降低，x應控制在什么范圍內？
  （3）當x是什么值時，能使經營收入最多？
  組卷：106引用：1難度：0.1

  解析

• 16．求函數

  y

  =

  x

  2

  +

  2

  ax

  +

  1

  x

  2

  +

  2

  bx

  +

  1

  的最值．
  組卷：415引用：1難度：0.1

  解析