2023-2024學年江西省南昌十九中高二（上）期中數學試卷

一、單選題（共8題，每題5分，共40分）

• 1．已知橢圓方程為

  x

  2

  36

  +

  y

  2

  64

  =

  1

  ，則該橢圓的長軸長為（　　）

  A．6

  B．12

  C．8

  D．16
  組卷：121引用：9難度：0.7

  解析

• 2．已知橢圓C過點（3，0），且離心率為

  6

  3

  ，則橢圓C的標準方程為（　　）

  A． x 2 9 + y 2 3 = 1

  B． y 2 27 + x 2 9 = 1

  C． x 2 9 + y 2 3 = 1 或 x 2 3 + y 2 9 = 1

  D． x 2 9 + y 2 3 = 1 或 y 2 27 + x 2 9 = 1
  組卷：326引用：7難度：0.7

  解析

• 3．已知圓C：x²+y²-2x+m=0與圓（x+3）²+（y+3）²=4外切，點P是圓C上一動點，則點P到直線5x+12y+8=0的距離的最大值為（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．5
  組卷：39引用：2難度：0.5

  解析

• 4．班級物理社團在做光學實驗時，發現了一個有趣的現象：從橢圓的一個焦點發出的光線經橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處．根據橢圓的光學性質解決下面問題：已知橢圓C的方程為

  x

  2

  16

  +

  y

  2

  12

  =

  1

  ，其左、右焦點分別是F₁，F₂，直線l與橢圓C切于點P，且|PF₁|=5，過點P且與直線l垂直的直線m與橢圓長軸交于點Q，則

  |

  F

  1

  Q

  |

  |

  F

  2

  Q

  |

  =（　　）（注：若△ABC的角平分線AD交BC于點D，則

  AB

  AC

  =

  BD

  DC

  ）

  A． 5 3

  B． 15 3

  C． 5 4

  D． 5 2
  組卷：71引用：4難度：0.7

  解析

• 5．拋物線

  x

  =

  1

  4

  y

  2

  的焦點到雙曲線

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的漸近線的距離是

  2

  2

  ，則該雙曲線的離心率為（　　）

  A． 2

  B． 3

  C．2

  D． 2 3 3
  組卷：253引用：5難度：0.7

  解析

• 6．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的頂點為O，經過點A（x₀，2），且F為拋物線C的焦點，若|AF|=3|OF|，則p=（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C． 2

  D．2
  組卷：465引用：10難度：0.8

  解析

• 7．已知F（1，0）為橢圓

  x

  2

  9

  +

  y

  2

  m

  =

  1

  的焦點，P為橢圓上一動點，A（1，1），則|PA|+|PF|的最小值為（　　）

  A． 6 - 5

  B．1

  C． 6 - 2 5

  D． 6 - 3
  組卷：448引用：4難度：0.8

  解析

四、解答題（共6題，共70分，第17題10分，第18-22題每題12分）

• 21．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y²=2px（p＞0）上一點P的橫坐標為4，且點P到焦點F的距離為5．
  （1）求拋物線的方程；
  （2）若直線l：x=my+t交拋物線于A，B兩點（位于對稱軸異側），且

  OA

  ?

  OB

  =

  9

  4

  ，問：直線l是否過定點？若過定點，請求出該定點：若不過，請說明理由．
  組卷：50引用：2難度：0.6

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• 22．已知橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  1

  ）

  的右焦點F恰為拋物線y²=2px的焦點，過點F且與x軸垂直的直線截拋物線、橢圓所得的弦長之比為

  4

  3

  ．
  （1）求a的值；
  （2）已知P為直線y=-a上任一點，A、B分別為橢圓的上、下頂點，設直線PA，PB與橢圓的另一交點分別為C，D，求證：直線CD過定點．
  組卷：138引用：4難度：0.4

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