2011-2012學年江蘇省南通中學（南區）高三（上）數學寒假作業（4）

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．

• 1．已知i是虛數單位，復數

  z

  =

  1

  +

  i

  1

  -

  i

  +

  i

  4

  的共軛復數

  z

  在復平面內對應點落在第

  象限
  組卷：7引用：2難度：0.9

  解析

• 2．已知集合

  M

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  3

  -

  x

  2

  }

  ，

  N

  =

  {

  x

  |

  |

  x

  +

  1

  |

  ≤

  2

  }

  ，且M、N都是全集I的子集，則如圖陰影部分表示的集合為

  ．
  
  組卷：21難度：0.9

  解析

• 3．設S_n為等差數列{a_n}的前n項和，且a₁=-2010，

  S

  2010

  2010

  -

  S

  2008

  2008

  =

  2

  ，則a₂=

  ；
  組卷：42引用：6難度：0.9

  解析

• 4．已知向量

  m

  ，

  n

  的夾角為

  π

  6

  ，且

  |

  m

  |

  =

  3

  ，

  |

  n

  |

  =

  2

  ，在△ABC中，

  AB

  =

  m

  +

  n

  ，

  AC

  =

  m

  -

  3

  n

  ，D為BC邊的中點，則

  |

  AD

  |

  =

  ；
  組卷：34引用：6難度：0.9

  解析

• 5．橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率

  e

  =

  1

  2

  ，右焦點F（c,0），方程ax²+bx-c=0的兩個根分別為x₁，x₂，則點P（x₁，x₂）與圓x²+y²=2的位置關系是

  ．
  組卷：79引用：9難度：0.5

  解析

• 6．函數f（x）=x³+ax在（1，2）處的切線方程為

  ．
  組卷：297引用：7難度：0.7

  解析

二、解答題：（本大題共6道題，計90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

• 19．已知橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）和圓O：x²+y²=b²，過橢圓上一點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B．
  （1）①若圓O過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率e；
  ②若橢圓上存在點P，使得∠APB=90°，求橢圓離心率e的取值范圍；
  （2）設直線AB與x軸、y軸分別交于點M，N，求證：

  a

  2

  |

  ON

  |

  2

  +

  b

  2

  |

  OM

  |

  2

  為定值．
  組卷：563引用：20難度：0.1

  解析

• 20．設數列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N^*，點

  （

  n

  ,

  S

  n

  n

  ）

  都在函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  a

  n

  2

  x

  的圖象上．
  （Ⅰ）求a₁，a₂，a₃及數列{a_n}的通項公式a_n；
  （Ⅱ）將數列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
  （Ⅲ）令

  g

  （

  n

  ）

  =

  （

  1

  +

  2

  a

  n

  ）

  n

  （n∈N^*），求證：2≤g（n）＜3．
  組卷：86難度：0.5

  解析