2023-2024學年江蘇省無錫市梁溪區僑誼實驗中學九年級（上）期中數學試卷

一、選擇題（共10小題，每題3分，共30分）

• 1．下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（　　）

  A．（x-2）（x+3）=x-6	B．ax2-bxy+c=0（a≠0）
  C．x2-3xy+2=0	D． x 2 + 2 x + 1 = 0
  組卷：32引用：1難度：0.7

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• 2．一元二次方程x²+3x-1=0根的情況為（　　）

  A．有兩個不相等的實數根	B．有兩個相等的實數根
  C．沒有實數根	D．不能判定
  組卷：135引用：5難度：0.5

  解析

• 3．若2a=3b,則

  a

  +

  b

  a

  的值為（　　）

  A． 5 3

  B． 3 5

  C． 2 5

  D． 5 2
  組卷：231引用：8難度：0.7

  解析

• 4．已知⊙O的直徑是10，點P到圓心O的距離是5，則點P與⊙O的位置關系是（　　）

  A．點P在⊙O內

  B．點P在⊙O上

  C．點P在⊙O外

  D．不能確定
  組卷：64引用：1難度：0.6

  解析

• 5．下列說法中，正確的是（　　）

  A．長度相等的弧是等弧

  B．在同圓或等圓中，等弦對等弧

  C．優弧一定比劣弧長

  D．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等
  組卷：1347引用：4難度：0.8

  解析

• 6．已知a是方程x²-2x-2023=0的根，則代數式2a²-4a-2的值為（　　）

  A．4044

  B．-4044

  C．2024

  D．-2024
  組卷：594引用：3難度：0.6

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• 7．如圖所示，AB為⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，CD⊥AB，垂足為點G，∠CDB=30°，過點C作⊙O的切線交AB延長線于點E，在不添加輔助線的情況下，角度為30°的角的個數為（　　）

  A．2個

  B．3個

  C．4個

  D．5個
  組卷：362引用：4難度：0.5

  解析

• 8．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=9，CD=4，以點A為圓心適當長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點M、N，分別以點M、N為圓心，大于

  1

  2

  MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點H，作射線AH交BC于點D，作線段AD的垂直平分線EF，分別交AB、AC于點E、F，連接DE、DF，下列結論錯誤的是（　　）

  A．AD平分∠BAC	B．AF=AE=DE=DF
  C．S△ADF=10	D．S△ADF：S△CDF=5：4
  組卷：215引用：3難度：0.6

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• 9．如圖，若將圖1正方形剪成四塊，恰能拼成圖2的矩形，設a=1，則b=（　　）
  

  A． 5 - 1 2

  B． 5 + 1 2

  C． 5 + 3 2

  D． 2 + 1
  組卷：7914引用：31難度：0.7

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三.解答題（共9小題）

• 26．解答下列問題：
  （1）【問題呈現】阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點M是

  ?

  ABC

  的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=DB+BA．下面是運用“截長法”證明CD=DB+BA的部分證明過程．
  證明：如圖2，在CD上截取CG=AB，連接MA、MB、MC和MG．
  ∵M是

  ?

  ABC

  的中點，∴

  ?

  MA

  =

  ?

  MC

  ，
  ∴MA=MC①，
  又∵∠A=∠C②，
  ∴△MAB≌△MCG，
  ∴MB=MG，
  又∵MD⊥BC，
  ∴BD=DG，
  ∴AB+BD=CG+DG，
  即CD=DB+BA，
  根據證明過程，分別寫出下列步驟的理由：
  ①

  ，
  ②

  ．
  （2）【理解運用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB=8，BC=12，點M是

  ?

  ABC

  的中點，MD⊥BC于點D，則BD的長為

  ．
  （3）【變式探究】如圖3，若點M是

  ?

  AC

  的中點，【問題呈現】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數量關系？并加以證明．
  （4）【實踐應用】根據你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：
  如圖4，BC是⊙O的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足∠DAC=45°，若AB=12，⊙O的半徑為10，求AD長．
  ?
  組卷：342引用：2難度：0.2

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• 27．新定義：在平面直角坐標系xOy中，若幾何圖形G與⊙A有公共點，則稱幾何圖形G的叫⊙A的關聯圖形，特別地，若⊙A的關聯圖形G為直線，則稱該直線為⊙A的關聯直線．如圖，∠M為⊙A的關聯圖形，直線l為⊙A的關聯直線．
  （1）已知⊙O是以原點為圓心，2為半徑的圓，下列圖形：
  ①直線y=2x+2；②直線y=-x+3；③雙曲線y=

  2

  x

  ，是⊙O的關聯圖形的是

  （請直接寫出正確的序號）．
  （2）如圖1，⊙T的圓心為T（1，0），半徑為1，直線l：y=-x+b與x軸交于點N，若直線l是⊙T的關聯直線，求點N的橫坐標的取值范圍．
  （3）如圖2，已知點B（0，2），C（2，0），D（0，-2），⊙I經過點C，⊙I的關聯直線HB經過點B，與⊙I的一個交點為P；⊙I的關聯直線HD經過點D，與⊙I的一個交點為Q；直線HB，HD交于點H，若線段PQ在直線
  x=6上且恰為⊙I的直徑，請直接寫出點H橫坐標h的取值范圍．
  
  組卷：914引用：6難度：0.1

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