2022-2023學年上海楊浦區復旦大學附中高三（下）月考數學試卷（3月份）

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分。第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．已知集合A={x|x²-6x+8≤0}，B={x||x-3|＜2，x∈Z}，則A∩B=

  ．
  組卷：367引用：3難度：0.7

  解析

• 2．設i是虛數單位，則復數

  1

  -

  3

  i

  1

  +

  i

  的虛部為

   

  ．
  組卷：162引用：4難度：0.7

  解析

• 3．已知冪函數y=f（x）的圖像過點（9，3），則f（2）的值為

  ．
  組卷：76引用：1難度：0.8

  解析

• 4．已知3^a=4^b=m,

  1

  a

  +

  1

  2

  b

  =

  2

  ，則m=

  ．
  組卷：102引用：5難度：0.7

  解析

• 5．直線l的方程為（a-2）y=（3a-1）x-1，若直線l不經過第二象限，則實數a的取值范圍是

  ．
  組卷：290引用：5難度：0.8

  解析

• 6．已知a、b為實數，函數

  y

  =

  lnx

  +

  a

  x

  在x=1處的切線方程為4y-x-b=0，則ab的值為

  ．
  組卷：158引用：3難度：0.7

  解析

• 7．若關于x的方程2sin²x-

  3

  sin2x+m-1=0在（

  π

  2

  ，π）上在實數根，則實數m的取值范圍是

  ．
  組卷：252引用：5難度：0.5

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟。

• 20．橢圓Γ₁：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的焦點F₁、F₂是一個等軸雙曲線Γ₂的頂點、其頂點是雙曲線Γ₂的焦點，橢圓Γ₁與雙曲線Γ₂有一個交點P，△PF₁F₂的周長為4+2

  2

  ．
  （1）求橢圓Γ₁與雙曲線Γ₂的標準方程；
  （2）點M是雙曲線Γ₂上的任意不同于其頂點的動點，設直線MF₁、MF₂，的斜率分別為k₁、k₂，求k₁?k₂的值；
  （3）過點Q（-4，0）任作一動直線l交橢圓Γ₁于A、B兩點，記

  AQ

  =

  λ

  QB

  （λ∈R）．若在線段AB上取一點R，使得

  AR

  =

  （

  -

  λ

  ）

  RB

  ，試判斷當直線l運動時，點R是否在某一定曲線上運動？若是，求出該定曲線的方程；若不是，請說明理由．
  組卷：92引用：1難度：0.5

  解析

• 21．若函數y=f（x）圖像上存在相異的兩點P、Q，使得函數y=f（x）在點P和點Q處的切線重合，則稱y=f（x）是“雙切函數”，點P、Q為“雙切點”，直線PQ為y=f（x）的“雙切線”．
  （1）若f（x）=x⁶-3，判斷函數y=f（x）是否為“雙切函數”，并說明理由；
  （2）若

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  3

  +

  1

  x

  ，證明：函數y=f（x）是“雙切函數”，并求出其“雙切線”；
  （3）f（x）=x⁴+bx³+cx²+dx+e,求證：“y=f（x）”是“雙切函數”的充要條件是“3b²＞8c”．
  組卷：109引用：1難度：0.6

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