2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱師大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8道小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

• 1．雙曲線

  x

  2

  2

  -

  y

  2

  =

  1

  的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（　　）

  A．（±1，0）

  B．（± 2 ，0）

  C．（± 3 ，0）

  D．（± 5 ，0）
  組卷：1023引用：4難度：0.7

  解析

• 2．過(guò)點(diǎn)M（-2，a），N（a,4）的直線的斜率為-

  1

  2

  ，則|MN|=（　　）

  A．10

  B．180

  C．6 3

  D．6 5
  組卷：1297引用：21難度：0.7

  解析

• 3．已知傾斜角為60°直線l經(jīng)過(guò)拋物線y²=6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．弦|AB|的長(zhǎng)為（　　）

  A．6

  B．8

  C．10

  D． 3 3
  組卷：112引用：4難度：0.6

  解析

• 4．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x,y）滿足

  5

  （

  x

  -

  2

  ）

  2

  +

  （

  y

  -

  1

  ）

  2

  =

  |

  3

  x

  +

  4

  y

  -

  7

  |

  ，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（　　）

  A．直線

  B．橢圓

  C．雙曲線

  D．拋物線
  組卷：27引用：2難度：0.7

  解析

• 5．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  =

  1

  ，直線l：x-y-4=0，則橢圓C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值是（　　）

  A． 4 2 + 10 2

  B． 4 2 - 10 2

  C． 10 + 2 2

  D． 10 - 2 2
  組卷：68引用：1難度：0.7

  解析

• 6．已知圓O：x²+y²=1與圓M：（x-2）²+（y-1）²=2相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=（　　）

  A． 2 5 5

  B． 5 5

  C． 5 2

  D． 5
  組卷：59引用：5難度：0.7

  解析

• 7．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4的橢圓被直線l：y=x+3截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，則此橢圓的短軸長(zhǎng)為（　　）

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  組卷：57引用：1難度：0.7

  解析

四、解答題：本題共6道小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

• 21．已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率為

  5

  ．
  （1）求雙曲線C的漸近線方程；
  （2）動(dòng)直線l分別交雙曲線C的漸近線于A，B兩點(diǎn)（A，B分別在第一、四象限），且△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積恒為8，是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線C，若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
  組卷：101引用：2難度：0.5

  解析

• 22．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左焦點(diǎn)F₁（-

  3

  ，0），點(diǎn)

  Q

  （

  1

  ，

  3

  2

  ）

  在橢圓C上．
  （Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （Ⅱ）經(jīng)過(guò)圓O：x²+y²=5上一動(dòng)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓O相交于異于點(diǎn)P的M，N兩點(diǎn)．
  （ⅰ）求證：

  OM

  +

  ON

  =

  0

  ；
  （ⅱ）求△OAB的面積的取值范圍．
  組卷：387引用：4難度：0.3

  解析