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人教A版（2019）選擇性必修第二冊《4.4 數學歸納法》2021年同步練習卷（3）

發布：2024/4/20 14:35:0

一、單選題

1．用數學歸納法證明：首項是a₁，公差是d的等差數列的前n項和公式是S_n=
na
1
+
n
（
n
-
1
）
2
d
時，假設當n=k時，公式成立，則S_k=（　?。?/h2>
A．a₁+（k-1）d B．
k
（
a
1
+
a
k
）
2
C．
ka
1
+
k
（
k
-
1
）
2
d
D．
（
k
+
1
）
a
1
+
k
（
k
+
1
）
2
d
組卷：16引用：6難度：0.9
解析

2．已知f（n）=
1
n
+
1
n
+
1
+
1
n
+
2
+…+
1
n
2
．則（　　）

A．f（n）中共有n項，當n=2時，f（2）=

B．f（n）中共有n+1項，當n=2時，f（2）=

C．f（n）中共有n²-n項，當n=2時，f（2）=

D．f（n）中共有n²-n+1項，當n=2時，f（2）=

組卷：160引用：11難度：0.9

解析

3．用數學歸納法證明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²，（n∈N^*）時，若記f（n）=n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2），則f（k+1）-f（k）等于（　?。?/h2>
A．3k-1 B．3k+1 C．8k D．9k
組卷：249引用：4難度：0.7
解析
4．證明等式1²+2²+3²+…+n²=
n
（
n
+
1
）
（
2
n
+
1
）
6
（n∈N^*）時，某學生的證明過程如下
（1）當n=1時，1²=
1
×
2
×
3
6
，等式成立；
（2）假設n=k（k∈N^*）時，等式成立，
即1²+2²+3²+…+k²=
k
（
k
+
1
）
（
2
k
+
1
）
6
，則當n=k+1時，1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²=
k
（
k
+
1
）
（
2
k
+
1
）
6
+（k+1）²=
（
k
+
1
）
[
k
（
2
k
+
1
）
+
6
（
k
+
1
）
]
6
=
（
k
+
1
）
（
2
k
2
+
7
k
+
6
）
6
=
（
k
+
1
）
[
（
k
+
1
）
+
1
]
[
2
（
k
+
1
）
+
1
]
6
，所以當n=k+1時，等式也成立，故原等式成立．
那么上述證明（　　）
A．全過程都正確
B．當n=1時驗證不正確
C．歸納假設不正確
D．從n=k到n=k+1的推理不正確
組卷：131引用：8難度：0.8
解析
5．已知1+2×3+3×3²+4×3²+…+n×3^n-1=3ⁿ（na-b）+c對一切n∈N^*都成立，則a、b、c的值為（　　）
A．a=
1
2
，b=c=
1
4
B．a=b=c=
1
4
C．a=0，b=c=
1
4
D．不存在這樣的a,b,c
組卷：83引用：15難度：0.9
解析
6．用數學歸納法證明3^k≥n³（n≥3，n∈N）第一步應驗證（　?。?/h2>
A．n=1 B．n=2 C．n=3 D．n=4
組卷：88引用：5難度：0.9
解析
7．利用數學歸納法證明不等式1+
1
2
+
1
3
+……+
1
2
n
-
1
＜f（n）（n≥2，n∈N*）的過程，由n=k到n=k+1時左邊增加了（　?。?/h2>
A．1項 B．k項 C．2^k-1項 D．2^k項
組卷：164引用：12難度：0.8
解析

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四、解答題

22．已知數列{a_n}中，S_n是{a_n}的前n項和，且S_n是2a與-2na_n的等差中項，其中a是不等于零的常數．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想a_n的表達式，并用數學歸納法加以證明．
組卷：77引用：6難度：0.1
解析
23．觀察下列等式：
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
按照以上式子的規律：
（1）寫出第5個等式，并猜想第n（n∈N*）個等式；
（2）用數學歸納法證明上述所猜想的第n（n∈N*）個等式成立．
組卷：99引用：4難度：0.5
解析

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A．a₁+（k-1）d	B． k （ a 1 + a k ） 2
C． ka 1 + k （ k - 1 ） 2 d	D．（ k + 1 ） a 1 + k （ k + 1 ） 2 d

A．a= 1 2 ，b=c= 1 4	B．a=b=c= 1 4
C．a=0，b=c= 1 4	D．不存在這樣的a,b,c

人教A版（2019）選擇性必修第二冊《4.4 數學歸納法》2021年同步練習卷（3）

一、單選題

1．用數學歸納法證明：首項是a1，公差是d的等差數列的前n項和公式是Sn=na1+n（n-1）2d時，假設當n=k時，公式成立，則Sk=（ ?。?/h2>

2．已知f（n）=1n+1n+1+1n+2+…+1n2．則（ ）

3．用數學歸納法證明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2，（n∈N*）時，若記f（n）=n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2），則f（k+1）-f（k）等于（ ?。?/h2>

5．已知1+2×3+3×32+4×32+…+n×3n-1=3n（na-b）+c對一切n∈N*都成立，則a、b、c的值為（ ）

6．用數學歸納法證明3k≥n3（n≥3，n∈N）第一步應驗證（ ?。?/h2>

7．利用數學歸納法證明不等式1+12+13+……+12n-1＜f（n）（n≥2，n∈N*）的過程，由n=k到n=k+1時左邊增加了（ ?。?/h2>

四、解答題

22．已知數列{an}中，Sn是{an}的前n項和，且Sn是2a與-2nan的等差中項，其中a是不等于零的常數．（1）求a1，a2，a3；（2）猜想an的表達式，并用數學歸納法加以證明．

23．觀察下列等式：1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……按照以上式子的規律：（1）寫出第5個等式，并猜想第n（n∈N*）個等式；（2）用數學歸納法證明上述所猜想的第n（n∈N*）個等式成立．

一、單選題

1．用數學歸納法證明：首項是a₁，公差是d的等差數列的前n項和公式是S_n=
na
1
+
n
（
n
-
1
）
2
d
時，假設當n=k時，公式成立，則S_k=（　?。?/h2>

2．已知f（n）=
1
n
+
1
n
+
1
+
1
n
+
2
+…+
1
n
2
．則（　　）

3．用數學歸納法證明n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²，（n∈N^*）時，若記f（n）=n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2），則f（k+1）-f（k）等于（　?。?/h2>

5．已知1+2×3+3×3²+4×3²+…+n×3^n-1=3ⁿ（na-b）+c對一切n∈N^*都成立，則a、b、c的值為（　　）

6．用數學歸納法證明3^k≥n³（n≥3，n∈N）第一步應驗證（　?。?/h2>

7．利用數學歸納法證明不等式1+
1
2
+
1
3
+……+
1
2
n
-
1
＜f（n）（n≥2，n∈N*）的過程，由n=k到n=k+1時左邊增加了（　?。?/h2>

22．已知數列{a_n}中，S_n是{a_n}的前n項和，且S_n是2a與-2na_n的等差中項，其中a是不等于零的常數．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想a_n的表達式，并用數學歸納法加以證明．

23．觀察下列等式：
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
按照以上式子的規律：
（1）寫出第5個等式，并猜想第n（n∈N）個等式；
（2）用數學歸納法證明上述所猜想的第n（n∈N）個等式成立．