2023-2024學年上海市奉賢區奉賢中學高三（上）月考數學試卷（10月份）

一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分．考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分或5分，否則一律得零分．

• 1．若1∈{x,x²}，則x=

  ．
  組卷：670引用：17難度：0.9

  解析

• 2．已知集合M={x|y=lnx}，集合

  N

  =

  {

  y

  |

  y

  =

  1

  x

  -

  1

  }

  ，則M∩N=

  ．
  組卷：33引用：2難度：0.8

  解析

• 3．函數f（x）=sin²x的最小正周期為

  ．
  組卷：114引用：4難度：0.8

  解析

• 4．若tanθ=-2，那么

  1

  +

  sinθcosθ

  si

  n

  2

  θ

  -

  co

  s

  2

  θ

  =

  ．
  組卷：201引用：2難度：0.7

  解析

• 5．若等式x²-10x-7=a（x+1）²+b（x+1）+c恒成立，則a+b+c的值為

  ．
  組卷：12引用：2難度：0.7

  解析

• 6．若f（x）為可導函數，且

  lim

  x

  →

  0

  f

  （

  1

  -

  2

  x

  ）

  -

  f

  （

  1

  ）

  4

  x

  =

  -

  1

  ，則在曲線y=f（x）上點（1，f（1））處的切線斜率為

  ．
  組卷：423引用：3難度：0.8

  解析

• 7．已知向量

  a

  =

  （

  sin

  2

  x

  ,

  2

  cosx

  ）

  ，

  b

  =

  （

  3

  ，

  cosx

  ）

  ，則函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  a

  ?

  b

  -

  1

  ，

  x

  ∈

  [

  -

  π

  2

  ，

  π

  2

  ]

  的單調遞增區間為

  ．
  組卷：157引用：4難度：0.6

  解析

三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟。

• 20．如圖1，某景區是一個以C為圓心，半徑為3km的圓形區域，道路l₁，l₂成60°角，且均和景區邊界相切，現要修一條與景區相切的觀光木棧道AB，點A，B分別在l₁和l₂上，修建的木棧道AB與道路l₁，l₂圍成三角地塊OAB．（注：圓的切線長性質：圓外一點引圓的兩條切線長相等）．
  
  （1）當△OAB為正三角形時求修建的木棧道AB與道路l₁，l₂圍成的三角地塊OAB面積；
  （2）若△OAB的面積

  S

  =

  10

  3

  ，求木棧道AB長；
  （3）如圖2，設∠CAB=α，
  ①將木棧道AB的長度表示為α的函數，并指定定義域；
  ②求木棧道AB的最小值．
  組卷：50引用：3難度：0.5

  解析

• 21．定義可導通數f（x）在x處的彈性函數為

  f

  ′

  （

  x

  ）

  ?

  x

  f

  （

  x

  ）

  ，其中f′（x）為f（x）的導函數，在區間D上，若函數f（x）的彈性函數值大于1，則稱f（x）在區間D上具有彈性，相應的區間D也稱作f（x）的彈性區間．
  （1）若r（x）=e^x+1，求r（x）的彈性函數；
  （2）對于函數f（x）=（x-1）e^x+lnx-tx（其中e為自然對數的底數）
  （ⅰ）當t=0時，求f（x）的彈性區間D；
  （ⅱ）若f（x）＞1在（i）中的區間D上恒成立，求實數t的取值范圍．
  組卷：111引用：2難度：0.1

  解析