2022-2023學(xué)年湖南省長沙市長郡中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

• 1．設(shè)

  e

  1

  ，

  e

  2

  是兩個不共線的向量，若向量

  m

  =

  -

  e

  1

  +

  k

  e

  2

  （

  k

  ∈

  R

  ）

  與向量

  n

  =

  -

  2

  e

  1

  +

  e

  2

  共線，則（　　）

  A．k=0

  B．k=1

  C．k=2

  D． k = 1 2
  組卷：159引用：1難度：0.7

  解析

• 2．定義：若z²=a+bi（a,b∈R），則稱復(fù)數(shù)z是復(fù)數(shù)a+bi的平方根．根據(jù)定義，復(fù)數(shù)9-40i的平方根為（　　）

  A．3-4i,-3+4i

  B．4+3i,4-3i

  C．5-4i,-5+4i

  D．4-5i,-4+5i
  組卷：92引用：3難度：0.7

  解析

• 3．與向量

  a

  =

  （

  4

  ，

  2

  ）

  垂直的單位向量為（　　）

  A． （ 2 5 5 ， 5 5 ）	B． （ - 5 5 ， 2 5 5 ） 或 （ 5 5 ， - 2 5 5 ）
  C． （ - 5 5 ，- 2 5 5 ）	D． （ 1 10 ，- 1 5 ） 或 （ - 1 10 ， 1 5 ）
  組卷：128引用：4難度：0.8

  解析

• 4．一個球的外切正方體的全面積等于6cm²，則此球的體積為（　　）

  A． 4 3 πc m 3

  B． 6 8 πc m 3

  C． 1 6 πc m 3

  D． 6 6 πc m 3
  組卷：138引用：9難度：0.9

  解析

• 5．在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=6，BC=3，

  ∠

  CAB

  =

  π

  6

  ，則三棱錐P-ABC的外接球半徑為（　　）

  A．3

  B． 2 3

  C． 3 2

  D．6
  組卷：824引用：8難度：0.7

  解析

• 6．下列命題正確的為（　　）
  ①若△ABC在平面α外，它的三條邊所在的直線分別交α于P、Q，R，則P，Q，R三點共線；
  ②若三條直線a,b、c互相平行且分別交直線l于A、B、C三點，則這四條直線共面；
  ③已知a,b,c為三條直線，若a,b異面，b,c異面，則a,c異面；
  ④已知a,b,c為三條直線，若a⊥c,b⊥c,則a∥b.

  A．①③

  B．②③

  C．②④

  D．①②
  組卷：379引用：4難度：0.5

  解析

• 7．如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC、AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，則∠MPN的余弦值為（　　）

  A． 4 91 91

  B． 2 91 91

  C． 91 91

  D． - 4 91 91
  組卷：385引用：6難度：0.6

  解析

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．如圖所示，點O是△ABC所在平面上一點，并且滿足

  AO

  =

  m

  AB

  +

  n

  AC

  （

  m

  ,

  n

  ∈

  R

  ）

  ，已知AB=6，AC=2，∠BAC=60°．
  （1）若O是△ABC的外心，求m、n的值；
  （2）如果O是∠BAC的平分線上某點，則當(dāng)

  m

  +

  3

  n

  達(dá)到最小值時，求

  |

  AO

  |

  的值．
  組卷：158引用：1難度：0.5

  解析

• 22．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，PO=2，點E在棱PD上，且CE⊥PD
  （1）證明：面PBD⊥面ACE；
  （2）求二面角P-AC-E的余弦值．
  組卷：373引用：11難度：0.4

  解析