2021-2022學年上海市寶山區吳淞中學高二（下）期末數學試卷

一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．設復數z滿足（3-4i）z=5（i是虛數單位），則z=

   

  ．
  組卷：65難度：0.9

  解析

• 2．

  +

  ∞

  ∑

  i

  =

  1

  1

  2

  i

  =

  ．
  組卷：7難度：0.9

  解析

• 3．如果x₁，x₂，x₃，x₄的方差是

  1

  2

  ，則2x₁，2x₂，2x₃，2x₄的方差為

  ．
  組卷：10引用：1難度：0.9

  解析

• 4．用反證法證明命題“設a,b為實數，則方程x²+ax+b=0至少有一個實根”時，要做的假設是

  ．
  組卷：52引用：2難度：0.6

  解析

• 5．已知虛數1+2i是方程x²+ax+b=0（a,b∈R）的一個根，則a+b=

   

  ．
  組卷：158難度：0.9

  解析

• 6．底面半徑為1，側面積為6π的圓柱的體積為

  ．
  組卷：14引用：1難度：0.8

  解析

• 7．曲線y=x³在P（1，1）處的切線方程為

  ．
  組卷：71引用：21難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共5題，滿分76分）

• 20．已知離心率為

  2

  2

  的橢圓C的中心在原點O，對稱軸為坐標軸，F₁，F₂為左右焦點，M為橢圓上的點，且

  |

  M

  F

  1

  |

  +

  |

  M

  F

  2

  |

  =

  2

  2

  ．直線l過橢圓外一點P（m,0）（m＜0），與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，滿足y₂＞y₁＞0．
  （1）求橢圓C的標準方程；
  （2）若m=-2，求三角形AOB面積的取值范圍；
  （3）對于任意點P，是否總存在唯一的直線l,使得

  F

  1

  A

  ∥

  F

  2

  B

  成立，若存在，求出直線l的斜率；否則說明理由．
  組卷：69難度：0.5

  解析

• 21．平面直角坐標系中A（1，0），B（0，1），設點P₁，P₂，…，P_n-1是線段AB的n等分點，其中n∈N，n≥2．
  （1）當n=3時，試用

  OA

  ，

  OB

  表示

  OP

  1

  ，

  O

  P

  2

  ；
  （2）當n=2022時，求

  |

  n

  -

  1

  ∑

  i

  =

  1

  OP

  i

  |

  的值；
  （3）當n=8時，求

  OP

  i

  ?

  （

  O

  P

  i

  +

  O

  P

  j

  ）

  （

  1

  ≤

  i

  ,

  j

  ≤

  n

  -

  1

  ，

  i

  ,

  j

  ∈

  N

  ）

  的最小值．
  組卷：22引用：1難度：0.5

  解析