2023年上海交大附中高考數學模擬試卷（三）

一、填空題（本大題共有12題，滿分48分，第16題每題4分，第712題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果

• 1．設集合

  A

  =

  {

  x

  |

  x

  -

  3

  x

  +

  2

  ＜

  0

  }

  ，則集合A∩Z=

  ．
  組卷：135引用：2難度：0.8

  解析

• 2．已知復數i?z=1+i,則復數z=

  ．
  組卷：101引用：4難度：0.8

  解析

• 3．已知某球體的表面積為36π，則該球體的體積是

  ．
  組卷：491引用：10難度：0.8

  解析

• 4．已知向量

  a

  =

  （

  2

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  -

  1

  ，

  1

  ）

  ，向量

  a

  在

  b

  方向上的投影向量坐標為

  ．
  組卷：76引用：3難度：0.8

  解析

• 5．如圖所示，ABCD-A′B′C′D′是長方體，其中AB=2，AD=AA′=1，點E是棱C′D′上一點，若異面直線A′B與DE互相垂直，則D′E=

  ．
  組卷：146引用：4難度：0.6

  解析

• 6．已知x,y∈R，且x+2y=1，則2^x+4^y的最小值是

  ．
  組卷：81難度：0.7

  解析

• 7．若

  （

  x

  +

  1

  x

  2

  ）

  n

  的二項展開式中，各項系數之和為64，則展開式中的常數項為

  ．
  組卷：69引用：2難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分0分）解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟．

• 20．已知橢圓

  Γ

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦點分別為F₁，F₂，過點B（0，b）且與直線BF₂垂直的直線交x軸負半軸于D，且

  2

  F

  1

  F

  2

  +

  F

  2

  D

  =

  0

  ．
  （1）求橢圓Γ的離心率；
  （2）若過B、D、F₂三點的圓恰好與直線

  l

  ：

  x

  -

  3

  y

  -

  6

  =

  0

  相切，求橢圓Γ的方程；
  （3）設a=2．過橢圓Γ右焦點F₂且不與坐標軸垂直的直線l與橢圓Γ交于P、Q兩點，點M是點P關于x軸的對稱點，在x軸上是否存在一個定點N，使得M、Q、N三點共線？若存在，求出點N的坐標；若不存在，說明理由．
  組卷：189引用：3難度：0.3

  解析

• 21．已知點A_n（a_n，b_n）（n∈N，n≥1）是函數y=x³圖像上不同的點，設首項a₁=a（常數a∈R，a≥0），記c_n=a_n+a_n+1（n∈N，n≥1）．
  （1）若數列{c_n}是一個5項的等比數列，其中c₂=4，c₅=32，當a=1時，試寫出數列{a_n}的前6項；
  （2）若數列{c_n}是一個無窮等差數列，滿足c₁=1，c₃=7，當a=0時，求數列{a_n}的前n項和S_n；
  （3）若對于任意n∈N，n≥1，都有

  c

  n

  =

  1

  2

  a

  n

  +

  3

  2

  ，當數列{a_n}各項均不為1時，記

  k

  n

  =

  b

  n

  -

  1

  a

  n

  -

  1

  ，若存在常數k₀，使得對于任意n∈N，n≥1，不等式（k_n-k₀）（k_n+1-k₀）＜0都成立，求非負實數a的取值范圍．
  組卷：183引用：3難度：0.1

  解析