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2023-2024學年福建省福州三中高二（上）期中數(shù)學試卷

發(fā)布：2024/10/21 18:0:2

一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．

1．已知空間向量
a
，
b
，且
AB
=
3
a
+
6
b
，
BC
=
-
10
a
+
12
b
，
CD
=
14
a
-
4
b
，則一定共線的三點是（　　）
A．A、B、C B．B、C、D C．A、B、D D．A、C、D
組卷：68引用：2難度：0.8
解析
2．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E、F分別是BC、CC₁的中點，G為△ABC的重心，則
GF
=（　　）
A．
-
1
3
AB
+
2
3
AC
+
1
2
A
A
1
B．
1
3
AB
+
2
3
AC
+
1
2
A
A
1
C．
-
2
3
AB
+
1
3
AC
-
1
2
A
A
1
D．
1
3
AB
-
2
3
AC
+
1
2
A
A
1
組卷：670引用：11難度：0.8
解析
3．當圓C：x²+y²+6y-3=0的圓心到直線l：mx+y+m-1=0的距離最大時，m=（　　）
A．
1
4
B．4 C．
-
1
4
D．-4
組卷：99引用：3難度：0.8
解析
4．已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，若∠ABF=90°，則橢圓C的離心率為（　　）
A．
5
-
1
2
B．
3
-
1
2
C．
1
+
5
4
D．
3
+
1
4
組卷：1432引用：16難度：0.7
解析
5．如圖，一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，點C（-2，0）是x軸上一點，點E，F(xiàn)分別為直線y=x+3和y軸上的兩個動點，當△CEF周長最小時，點E，F(xiàn)的坐標分別為（　　）
A．
E
（
-
13
6
，
5
6
）
，F(xiàn)（0，2） B．E（-2，2），F(xiàn)（0，2）
C．
E
（
-
13
6
，
5
6
）
，
F
（
0
，
2
5
）
D．E（-2，2），
F
（
0
，
2
5
）
組卷：25引用：2難度：0.6
解析
6．若直線l：kx-y+3k=0與曲線
C
：
1
-
x
2
=
y
-
1
有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）
A．
（
1
2
，
3
4
]
B．
[
1
2
，
3
4
）
C．
（
0
，
3
4
）
D．
（
0
，
3
4
]
組卷：1628引用：18難度：0.5
解析
7．已知過橢圓
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
左焦點F且與長軸垂直的弦長為
6
2
，過點P（2，1）且斜率為-1的直線與C相交于A，B兩點，若P恰好是AB的中點，則橢圓C上一點M到F的距離的最大值為（　　）
A．6 B．
2
2
+
6
C．
2
3
+
6
D．
6
2
+
6
組卷：212引用：8難度：0.5
解析

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四、解答題：本大題共6小題，共70分．

21．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l.
（1）證明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
組卷：8091引用：22難度：0.5
解析
22．已知橢圓
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
過點A（-2，-1），離心率
e
=
3
2
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設過點A的斜率為k直線l交橢圓C于另一點B，若△OAB的面積為2，其中O為坐標原點，求直線l的斜率k的值；
（3）設過點D（-4，0）的直線l′交橢圓C于點M，N，直線MA，NA分別交直線x=-4于點P，Q．求證：線段PQ的中點T為定點．
組卷：88引用：2難度：0.5
解析

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A． - 1 3 AB + 2 3 AC + 1 2 A A 1	B． 1 3 AB + 2 3 AC + 1 2 A A 1
C． - 2 3 AB + 1 3 AC - 1 2 A A 1	D． 1 3 AB - 2 3 AC + 1 2 A A 1

A． E （ - 13 6 ， 5 6 ），F(xiàn)（0，2）	B．E（-2，2），F(xiàn)（0，2）
C． E （ - 13 6 ， 5 6 ）， F （ 0 ， 2 5 ）	D．E（-2，2）， F （ 0 ， 2 5 ）

2023-2024學年福建省福州三中高二（上）期中數(shù)學試卷

一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．

1．已知空間向量a，b，且AB=3a+6b，BC=-10a+12b，CD=14a-4b，則一定共線的三點是（ ）

2．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分別是BC、CC1的中點，G為△ABC的重心，則GF=（ ）

3．當圓C：x2+y2+6y-3=0的圓心到直線l：mx+y+m-1=0的距離最大時，m=（ ）

4．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，若∠ABF=90°，則橢圓C的離心率為（ ）

5．如圖，一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，點C（-2，0）是x軸上一點，點E，F(xiàn)分別為直線y=x+3和y軸上的兩個動點，當△CEF周長最小時，點E，F(xiàn)的坐標分別為（ ）

6．若直線l：kx-y+3k=0與曲線C：1-x2=y-1有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）

7．已知過橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）左焦點F且與長軸垂直的弦長為62，過點P（2，1）且斜率為-1的直線與C相交于A，B兩點，若P恰好是AB的中點，則橢圓C上一點M到F的距離的最大值為（ ）

四、解答題：本大題共6小題，共70分．

21．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l.（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．

1．已知空間向量
a
，
b
，且
AB
=
3
a
+
6
b
，
BC
=
-
10
a
+
12
b
，
CD
=
14
a
-
4
b
，則一定共線的三點是（　　）

2．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E、F分別是BC、CC₁的中點，G為△ABC的重心，則
GF
=（　　）

3．當圓C：x²+y²+6y-3=0的圓心到直線l：mx+y+m-1=0的距離最大時，m=（　　）

4．已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，若∠ABF=90°，則橢圓C的離心率為（　　）

5．如圖，一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，點C（-2，0）是x軸上一點，點E，F(xiàn)分別為直線y=x+3和y軸上的兩個動點，當△CEF周長最小時，點E，F(xiàn)的坐標分別為（　　）

6．若直線l：kx-y+3k=0與曲線
C
：
1
-
x
2
=
y
-
1
有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

7．已知過橢圓
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
左焦點F且與長軸垂直的弦長為
6
2
，過點P（2，1）且斜率為-1的直線與C相交于A，B兩點，若P恰好是AB的中點，則橢圓C上一點M到F的距離的最大值為（　　）

21．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l.
（1）證明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．