2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱工業(yè)大學(xué)附中高二（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：（共8小題，每小題5分，共40分）

• 1．某中學(xué)高一年級(jí)有280人，高二年級(jí)有320人，為了解該校高一高二學(xué)生對(duì)暑假生活的規(guī)劃情況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)容量為60的樣本，則高一年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)為（　　）

  A．14

  B．16

  C．28

  D．32
  組卷：148引用：3難度：0.9

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• 2．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)

  1

  +

  i

  1

  -

  i

  =a+bi（a,b∈R），則a+b=（　　）

  A．-i

  B．i

  C．-1

  D．1
  組卷：148引用：9難度：0.9

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• 3．如圖，點(diǎn)D為△ABC的邊AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，

  DE

  =

  1

  4

  DB

  ，設(shè)

  AB

  =

  a

  ，

  AC

  =

  b

  ，則

  AE

  =（　　）
  

  A． 1 4 a + 1 2 b

  B． 1 2 a + 1 4 b

  C． 1 4 a + 1 3 b

  D． 1 3 a + 1 2 b
  組卷：318引用：7難度：0.7

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• 4．PM_2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，如圖是某地6月1日至10日的PM_2.5日均值（單位：μg/m³）的折線圖，則下列關(guān)于這10天中PM_2.5日均值的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）

  A．眾數(shù)為30	B．中位數(shù)為31.5
  C．平均數(shù)小于中位數(shù)	D．極差為109
  組卷：43引用：3難度：0.7

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• 5．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=2ccosB，

  ccos

  B

  +

  bcos

  C

  =

  2

  c

  ，則△ABC的形狀是（　　）

  A．等腰非直角三角形	B．直角非等腰三角形
  C．等邊三角形	D．等腰直角三角形
  組卷：81引用：4難度：0.6

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• 6．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都是2，點(diǎn)M在棱CC₁上運(yùn)動(dòng)，則A₁M+BM的最小值為（　　）

  A． 2 2

  B．4

  C． 2 5

  D． 2 + 2 2
  組卷：33引用：3難度：0.7

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• 7．已知△ABC的外接圓圓心為O，且

  2

  AO

  =

  AB

  +

  AC

  ，

  |

  OA

  |

  =

  |

  AC

  |

  ，則向量

  BA

  在向量

  BC

  上的投影向量為（　　）

  A． 3 2 BC

  B． 3 4 BC

  C． - 3 2 BC

  D． - 3 4 BC
  組卷：103引用：4難度：0.5

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四、解答題（本題共6小題，共70分．）

• 21．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
  （1）證明：PB∥平面AEC；
  （2）設(shè)三棱錐E-ACD的體積是

  3

  8

  ，AP=1，AD=

  3

  ，求平面DAE與AEC的夾角．
  組卷：60引用：7難度：0.6

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• 22．如圖所示，某小區(qū)內(nèi)有A，B，C，D四棟樓，在C棟樓處測(cè)得AC=a米，∠BAC=30°，∠BAD=90°，∠BCD=45°，∠DCA=30°．
  （1）求BD兩棟樓間的距離；
  （2）若小區(qū)決定沿BD方向取E，F(xiàn)兩點(diǎn)與A建設(shè)一個(gè)三角形花園，且始終滿(mǎn)足∠EAF=45°，求△AEF面積的最小值．
  組卷：34引用：2難度：0.5

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