2022-2023學年廣東省東莞實驗中學高二（上）月考數學試卷（一）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．已知

  a

  、

  b

  都是空間向量，且＜

  a

  ，

  b

  ＞=

  2

  π

  3

  ，則＜2

  a

  ，-3

  b

  ＞=（　　）

  A． π 3

  B． π 6

  C． 2 π 3

  D． 5 π 6
  組卷：59引用：8難度：0.8

  解析

• 2．經過A（-2，0），B（-2，3）兩點的直線的傾斜角是（　　）

  A．45°

  B．60°

  C．90°

  D．135°
  組卷：207引用：6難度：0.8

  解析

• 3．已知空間向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  ，則下列說法正確的是（　　）

  A．若 a ∥ b ， b ∥ c ，則 a ∥ c	B．若 | a ? b | = | a | ? | b | ，則 a 與 b 共線
  C．若 a ? c = b ? c ，則 a = b	D． （ a ? b ） ? c = （ b ? c ） ? a
  組卷：57引用：8難度：0.7

  解析

• 4．設點

  A

  （

  1

  ，-

  1

  ，

  2

  ）

  關于坐標原點的對稱點是B，則|AB|等于（　　）

  A．4

  B． 2 3

  C． 2 2

  D．2
  組卷：109引用：6難度：0.8

  解析

• 5．已知

  a

  =（-2，1，3），

  b

  =（-1，2，1），若

  a

  ⊥（

  a

  -λ

  b

  ），則實數λ的值為（　　）

  A．-2

  B． - 14 3

  C． 14 5

  D．2
  組卷：368引用：44難度：0.9

  解析

• 6．如圖，在三棱錐S-ABC中，點E，F分別是SA，BC的中點，點G滿足

  EG

  =

  1

  3

  EF

  ，若

  SA

  =

  a

  ，

  SB

  =

  b

  ，

  SC

  =

  c

  ，則

  BG

  =（　　）

  A． 1 3 a + 5 6 b + 1 6 c	B． 1 3 a - 5 6 b + 1 6 c
  C． - 1 3 a - 1 6 b + 1 2 c	D． 1 3 a - 1 6 b + 1 2 c
  組卷：389引用：8難度：0.7

  解析

• 7．在二面角的棱上有兩個點A、B，線段AC、BD分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱AB，若AB=1，AC=2，BD=3，CD=2

  2

  ，則這個二面角的大小為（　　）

  A．30°

  B．45°

  C．60°

  D．90°
  組卷：614引用：6難度：0.5

  解析

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數軸構成直角坐標系，如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．現有一種空間斜坐標系，它任意兩條數軸的夾角均為60°，我們將這種坐標系稱為“斜60°坐標系”．我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜60°坐標系”下向量的斜60°坐標：

  i

  ，

  j

  ，

  k

  分別為“斜60°坐標系”下三條數軸（x軸、y軸、z軸）正方向的單位向量，若向量

  n

  =

  x

  i

  +

  y

  j

  +

  z

  k

  ，則

  n

  與有序實數組（x,y,z）相對應，稱向量

  n

  的斜60°坐標為[x,y,z]，記作

  n

  =

  [

  x

  ,

  y

  ,

  z

  ]

  ．
  （1）若

  a

  =

  1 ， 2 ， 3

  ，

  b

  =

  [

  -

  1

  ，

  1

  ，

  2

  ]

  ，求

  a

  +

  b

  的斜60°坐標；
  （2）在平行六面體ABCD-ABC₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=3，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，如圖，以

  {

  AB

  ，

  AD

  ，

  A

  A

  1

  }

  為基底建立“空間斜60°坐標系”．
  ①若

  BE

  =

  EB

  1

  ，求向量

  ED

  1

  的斜60°坐標；
  ②若

  AM

  =

  [

  2

  ，

  t

  ,

  0

  ]

  ，且

  AM

  ⊥

  A

  C

  1

  ，求

  |

  AM

  |

  ．
  組卷：292引用：12難度：0.6

  解析

• 22．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面正方形BB₁C₁C的中心為點M，A₁M⊥平面BB₁C₁C，且

  B

  B

  1

  =

  2

  ，

  AB

  =

  3

  ，點E滿足

  A

  1

  E

  =

  λ

  A

  1

  C

  1

  （

  0

  ≤

  λ

  ≤

  1

  ）

  ．
  
  （1）若A₁B∥平面B₁CE，求λ的值；
  （2）求點E到平面ABC的距離；
  （3）若平面ABC與平面B₁CE所成角的正弦值為

  2

  5

  5

  ，求λ的值．
  組卷：14引用：4難度：0.5

  解析