2022-2023學(xué)年湖南師大附中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（五）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

• 1．已知a∈R，若復(fù)數(shù)z=（a²-1）+（a+1）i為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)

  2

  +

  i

  a

  -

  i

  在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  組卷：25引用：4難度：0.7

  解析

• 2．設(shè)x∈R，向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  x

  ,

  1

  ）

  ，

  c

  =

  （

  4

  ，

  x

  ）

  ．則“

  a

  ⊥

  b

  ”是“

  b

  ∥

  c

  ”的（　　）

  A．充分不必要文件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：139引用：6難度：0.7

  解析

• 3．如圖所示，A，B是非空集合，定義集合A#B為陰影部分表示的集合．若x∈R，A={x|0＜log₄x＜2}，B={x|e^x-3≤1}，則A#B為（　　）

  A．（-∞，0]∪（3，16）	B．（-∞，1]∪（3，16）
  C．（-∞，1）∪[3，16）	D．（1，3]
  組卷：7引用：2難度：0.7

  解析

• 4．已知角α的終邊上有一點(diǎn)P（-2，-1），則

  2

  cos

  （

  2

  α

  +

  π

  4

  ）

  的值為（　　）

  A． 1 3

  B． 7 5

  C． - 1 5

  D． 1 5
  組卷：206引用：5難度：0.7

  解析

• 5．甲、乙兩名司機(jī)的加油習(xí)慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價(jià)分別相同，但第一次與第二次加油的油價(jià)不同，乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（　　）

  A．甲更合算	B．乙更合算
  C．甲乙同樣合算	D．無法判斷誰更合算
  組卷：23引用：4難度：0.9

  解析

• 6．為參加學(xué)校組織的“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程”的演講比賽，某班從班級初選的甲乙2名男生和6名女生共8名同學(xué)中隨機(jī)選取5名組成班級代表隊(duì)參加比賽，則代表隊(duì)中既有男生又有女生的條件下，男生甲被選中的概率為（　　）

  A． 15 56

  B． 5 7

  C． 1 2

  D． 7 10
  組卷：32引用：2難度：0.7

  解析

• 7．若直線

  y

  =

  a

  2

  與函數(shù)y=|a^x-1|（a＞0且a≠1）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值不可以是（　　）

  A． 3 8

  B． 3 4

  C． 3 2

  D．3
  組卷：91引用：2難度：0.7

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．已知橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率為

  1

  2

  ，且點(diǎn)

  M

  （

  1

  ，

  3

  2

  ）

  在橢圓上．
  （1）求橢圓的方程；
  （2）過橢圓右焦點(diǎn)F₂作兩條互相垂直的弦AB與CD，求|AB|+|CD|的取值范圍．
  組卷：215引用：5難度：0.3

  解析

• 22．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax-a²lnx.（a∈R）
  （1）當(dāng)a=2時(shí)，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
  （2）曲線y=f（x）與直線y=m交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，求證：

  f

  ′

  （

  x

  1

  +

  x

  2

  2

  ）

  ＞

  0

  ；
  （3）證明：

  1

  3

  +

  1

  5

  +

  …

  +

  1

  2

  n

  -

  1

  ＜

  1

  2

  lnn

  （

  n

  ≥

  2

  ，

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  ．
  組卷：161引用：3難度：0.2

  解析