2021-2022學年湖南省長沙市周南中學高一（上）期末數學試卷

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．復數

  1

  1

  -

  i

  的虛部是（　?。?/h2>

  A．- 1 2

  B． 1 2

  C． 1 2 i

  D． - 1 2 i
  組卷：20引用：3難度：0.9

  解析

• 2．下列函數是奇函數且在區間（0，1）上是增函數的是（　?。?/h2>

  A．y=sinx

  B．y=3-x

  C．y=x2

  D． y = 1 x
  組卷：175引用：5難度：0.8

  解析

• 3．經過簡單隨機抽樣獲得的樣本數據為x₁，x₂，?，x_n，且數據x₁，x₂，?，x_n的平均數為

  x

  ，方差為s²，則下列說法正確的是（　?。?/h2>

  A．若數據x1，x2，?，xn，方差s2=0，則所有的數據xi（i=1，2，?，n）都為0

  B．若數據x1，x2，?，xn，的平均數為 x = 3 ，則數據yi=2xi+1（i=1，2，?，n）的平均數為6

  C．若數據x1，x2，?，xn，的中位數為90，則可以估計總體中有至少有50%的數據不大于90

  D．若數據x1，x2，?，xn，的方差為s2=3，則數據yi=2xi+1（i=1，2，?，n）的方差為6
  組卷：175引用：3難度：0.8

  解析

• 4．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a,b,c,已知

  b

  2

  +

  c

  2

  -

  a

  2

  ab

  =

  2

  sin

  B

  -

  sin

  A

  sin

  A

  ．則角C等于（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． π 4

  D． 2 π 3
  組卷：402引用：2難度：0.7

  解析

• 5．四面體P-ABC中，若PA=PB=PC，則點P在平面ABC內的射影點O是三角形ABC的（　?。?/h2>

  A．內心

  B．外心

  C．垂心

  D．重心
  組卷：150引用：9難度：0.9

  解析

• 6．在Rt△ABC中，C為直角頂點，BC=4，則

  BC

  ?

  BA

  的值為（　?。?/h2>

  A．4	B．8
  C．16	D．缺少條件，做不出來
  組卷：71引用：1難度：0.7

  解析

• 7．如圖是來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC、直角邊AB、AC，已知以直角邊AC、AB為直徑的半圓的面積之比為

  1

  4

  ，記∠ABC=α，則cos²α+sin2α=（　　）

  A． 3 5

  B． 4 5

  C．1

  D． 8 5
  組卷：406引用：3難度：0.5

  解析

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．設函數f（x）的定義域為I，如果存在區間[m,n]?I，使得f（x）在區間[m,n]上是單調函數且值域為[m,n]，那么稱f（x）在區間[m,n]上具有性質P．
  （Ⅰ）分別判斷函數f（x）=cosx和g（x）=x³在區間[-1，1]上是否具有性質P；（不需要解答過程）
  （Ⅱ）若函數

  h

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  a

  在區間[m,n]上具有性質P，
  （?。┣髮崝礱的取值范圍；
  （ⅱ）求n-m的最大值．
  組卷：200引用：2難度：0.4

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• 22．如圖所示，某公路AB一側有一塊空地△OAB，其中OA=3km,OB=3

  3

  km,∠AOB=90°．當地政府擬在中間開挖一個人工湖△OMN，其中M，N都在邊AB上（M，N不與A，B重合，M在A，N之間），且∠MON=30°．
  （1）若M在距離A點2km處，求點M，N之間的距離；
  （2）為節省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能小．試確定M的位置，使△OMN的面積最小，并求出最小面積．
  組卷：304引用：8難度：0.3

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