2022-2023學年上海中學高二（下）期中數學試卷

一、填空題（本大題滿分36分，本大題共有12題）

• 1．已知直線l在x軸上的截距為3，在y軸上的截距為-2，則l的方程

   

  ．
  組卷：175引用：1難度：0.9

  解析

• 2．若動點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）分別在直線l₁：x+y-7=0和l₂：x+y-5=0上移動，則AB中點M到原點距離的最小值為

   

  ．
  組卷：275引用：3難度：0.7

  解析

• 3．點M與兩個定點O（0，0），P（2，0）的距離的比為3：1，則點M的軌跡方程為

  ．
  組卷：42引用：2難度：0.6

  解析

• 4．將序號分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數是

  ．
  組卷：2808引用：39難度：0.5

  解析

• 5．將3個紅球，4個籃球，2個黃球排成一排（相同顏色的球是一樣的），有

  種排法．
  組卷：40引用：1難度：0.7

  解析

• 6．點A（1，2），點B（-2，-4），點P在坐標軸上，且∠APB為直角，這樣的點P有

  個．
  組卷：36引用：1難度：0.7

  解析

• 7．二項式

  （

  x

  3

  +

  1

  x

  2

  ）

  n

  的展開式中含有非零常數項，則正整數n的最小值為

  ．
  組卷：126引用：5難度：0.5

  解析

三、解答題（本大題滿分52分，本大題共有5題）

• 20．為評估設備M生產某種零件的性能，從設備M生產零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：
  

  直徑mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合計
  件數	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

  經計算，樣本的平均值μ=65，標準差σ=2.2，以頻率值作為概率的估計值，用樣本估計線上隨意抽取3個零件，計算其中次品個數Y的數學期望E（Y）；
  （2）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據以下不等式進行評判（P表示相應事件的概率）：①P（μ-σ＜X≤μ+σ）≥0.6827；②P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9545；③P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9973．評判規則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲：僅滿足其中兩個，則等級為乙：若僅滿足其中一個，則等級為丙：若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設備M的性能等級并說明理由．
  組卷：31引用：1難度：0.6

  解析

• 21．（1）已知k、n為正整數，k≤n,求證：

  k

  C

  k

  n

  =

  n

  C

  k

  -

  1

  n

  -

  1

  ：
  （2）已知k、n為正整數，求證：

  C

  n

  n

  +

  C

  n

  n

  +

  1

  +

  C

  n

  n

  +

  2

  +

  …

  +

  C

  n

  n

  +

  k

  =

  C

  n

  +

  1

  n

  +

  k

  +

  1

  ；
  （3）m、n為正整數，n≥2，求證：

  1

  n

  C

  n

  -

  1

  n

  -

  1

  +

  1

  n

  +

  1

  C

  n

  -

  1

  n

  +

  1

  n

  +

  2

  C

  n

  -

  1

  n

  +

  1

  +

  …

  +

  1

  n

  +

  m

  C

  n

  -

  1

  n

  +

  m

  -

  1

  ＜

  n

  C

  n

  n

  +

  m

  （

  n

  +

  m

  ）

  （

  n

  -

  1

  ）

  ．
  組卷：35引用：1難度：0.5

  解析