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2022-2023學年北京大學附中元培學院高一（上）期末數學試卷

發布：2025/1/5 19:0:3

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知集合A={x|x＞0}，B={x|-1＜x＜2}，若A∩B=（　　）
A．{x|x＜2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|-1＜x＜2}
組卷：331引用：7難度：0.8
解析
2．下列函數中，是奇函數且在區間（0，+∞）上單調遞增的是（　　）
A．
f
（
x
）
=
x
1
2
B．f（x）=x² C．
f
（
x
）
=
1
x
D．f（x）=x³
組卷：179引用：3難度：0.7
解析
3．“sinα=1”是“
α
=
π
2
”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
組卷：64引用：4難度：0.9
解析
4．下列結論正確的是（　　）
A．若a＞b,則ac²＞bc² B．若a²＞b²，則a＞b
C．若a＞b,c＜0，則a+c＜b+c D．若
a
＜
b
，則a＜b
組卷：654引用：11難度：0.9
解析
5．已知|
a
|=|
b
|=2，
a
?
b
=2，則|
a
-
b
|=（　　）
A．1 B．
3
C．2 D．
3
或2
組卷：147引用：8難度：0.7
解析
6．已知a=4^0.1，b=2^0.6，c=log₄0.6，則a,b,c的大小關系為（　　）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
組卷：558引用：8難度：0.8
解析
7．已知平面向量
a
，
b
是非零向量，|
a
|=2，
a
⊥（
a
+2
b
），則向量
b
在向量
a
方向上的投影為（　　）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
組卷：402引用：11難度：0.7
解析

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三、解答題：本大題共6小題，共40分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

20．在△ABC中，D、E為邊BC、AC上的點，且滿足
|
BD
|
|
BC
|
=
m
,
|
CE
|
|
EA
|
=n.
（1）若△ABC為邊長為2的等邊三角形，m=
1
2
，n=1，求
AD
?
BE
；
（2）若m=
1
3
，
n
=
1
2
，
DE
=
x
AB
+
y
AC
，求x+y；
（3）若∠A=
π
3
，AB=2，AC=1，m=n,求
AD
?
BE
的最大值；
（4）若將“D、E為邊BC、AC上的點”改為“D、E在△ABC的內部（包含邊界）”，其它條件同（1），則
AD
?
BE
是否為定值？若是，則寫出該定值；若不是，則寫出取值范圍．（不需要說明理由）
組卷：333引用：1難度：0.3
解析
21．設函數y=f（x）的定義域為M，且區間I?M，對任意x₁，x₂∈I且x₁＜x₂，記Δx=x₂-x₁，Δy=f（x₂）-f（x₁）．若Δy+Δx＞0，則稱f（x）在I上具有性質A；若Δy-Δx＞0，則稱f（x）在I上具有性質B；若Δy?Δx＞0，則稱f（x）在I上具有性質C；若
Δ
y
Δ
x
＞0，則稱f（x）在I上具有性質D．
（Ⅰ）記：①充分而不必要條件；②必要而不充分條件；③充要條件；④既不充分也不必要條件
則f（x）在I上具有性質A是f（x）在I上單調遞增的
（填正確選項的序號）；f（x）在I上具有性質B是f（x）在I上單調遞增的
（填正確選項的序號）；f（x）在I上具有性質C是f（x）在I上單調遞增的
（填正確選項的序號）；
（Ⅱ）若f（x）=ax²+1在[1，+∞）滿足性質B，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若函數g（x）=
1
|
x
|
在區間[m,n]上恰滿足性質A、性質B、性質C、性質D中的一個，直接寫出實數m的最小值．
組卷：294引用：5難度：0.5
解析