2022-2023學年廣東省中山市紀念中學高一（下）第一次段考數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分，在每小題列出的選項中選出符合題目的一項）

• 1．化簡

  MN

  +

  NP

  -

  QP

  =（　　）

  A． MP

  B． NQ

  C． MQ

  D． PM
  組卷：59引用：2難度：0.7

  解析

• 2．若向量

  a

  ，

  b

  滿足|

  a

  |=2，|

  b

  |=2，

  a

  ?

  b

  =2，則|

  a

  -

  b

  |=（　　）

  A． 2

  B．2

  C．2 3

  D．4
  組卷：400引用：5難度：0.8

  解析

• 3．已知

  cos

  （

  α

  -

  π

  6

  ）

  =

  3

  3

  ，則

  sin

  （

  4

  π

  3

  +

  α

  ）

  =（　　）

  A． 3 3

  B． - 3 3

  C． 6 3

  D． - 6 3
  組卷：47引用：4難度：0.7

  解析

• 4．已知向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  -

  2

  ，

  1

  ）

  ，則

  a

  在

  b

  上的投影向量為（　　）

  A． （ - 4 5 ， 2 5 ）

  B． （ - 2 5 ， 1 5 ）

  C． （ 4 5 ，- 2 5 ）

  D． （ 2 5 ，- 1 5 ）
  組卷：207引用：5難度：0.8

  解析

• 5．已知角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，其終邊與單位圓相交于點

  P

  （

  -

  1

  2

  ，

  3

  2

  ）

  ，則cos2α=（　　）

  A． 1 2

  B． - 3 2

  C． - 1 2

  D． 3 2
  組卷：166引用：2難度：0.8

  解析

• 6．在邊長為1的正方形ABCD中，M為BC中點，點E在線段AB上運動，則

  EC

  ?

  EM

  的取值范圍是（　　）

  A．[ 1 2 ，2]

  B．[0， 3 2 ]

  C．[ 1 2 ， 3 2 ]

  D．[0，1]
  組卷：712引用：32難度：0.9

  解析

• 7．

  2

  cos

  48

  °

  -

  2

  3

  sin

  36

  °

  cos

  36

  °

  cos

  27

  °

  -

  sin

  27

  °

  =（　　）

  A． 2 2

  B．1

  C．-1

  D．- 2 2
  組卷：696引用：2難度：0.7

  解析

四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

• 21．已知函數f（x）=2sin

  x

  2

  cos

  x

  2

  +2

  3

  cos2

  x

  2

  -

  3

  ．
  （1）求函數f（x）的最小正周期；
  （2）若不等式|f（x）-m|?3對任意x∈[-

  π

  6

  ，

  π

  3

  ]成立，求整數m的最大值；
  （3）若函數g（x）=f（

  π

  2

  -x），先將函數g（x）的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的

  1

  2

  倍（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移

  π

  12

  個單位長度，得到函數y=h（x）的圖象．若關于x的方程

  1

  2

  h（x）-k（sinx+cosx）=0在x∈[-

  π

  12

  ，

  5

  π

  12

  ]上有解，求實數k的取值范圍．
  組卷：290引用：1難度：0.2

  解析

• 22．已知O為坐標原點，對于函數f（x）=asinx+bcosx,稱向量

  OM

  =（a,b）為函數f（x）的相伴特征向量，同時稱函數f（x）為向量

  OM

  的相伴函數．
  （1）設函數

  g

  （

  x

  ）

  =

  sin

  （

  x

  +

  5

  π

  6

  ）

  -

  sin

  （

  3

  π

  2

  -

  x

  ）

  ，試求g（x）的相伴特征向量

  OM

  ；
  （2）記向量

  ON

  =（1，

  3

  ）的相伴函數為f（x），求當

  f

  （

  x

  ）

  =

  8

  5

  且x∈（

  -

  π

  3

  ，

  π

  6

  ）時，sinx的值；
  （3）已知A（-2，3），B（2，6），

  OT

  =（

  -

  3

  ，1）為

  h

  （

  x

  ）

  =

  msin

  （

  x

  -

  π

  6

  ）

  的相伴特征向量，

  φ

  （

  x

  ）

  =

  h

  （

  x

  2

  -

  π

  3

  ）

  ，請問在y=φ（x）的圖象上是否存在一點P，使得

  AP

  ⊥

  BP

  ．若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．
  組卷：383引用：18難度：0.5

  解析