2022-2023學年山東省淄博市沂源一中高二（上）期中數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．直線

  3

  x

  -

  3

  y

  +

  1

  =

  0

  的傾斜角的大小為（　　）

  A．30°

  B．60°

  C．120°

  D．150°
  組卷：46引用：3難度：0.9

  解析

• 2．已知點A（1，3）關于直線l：x-y-3=0的對稱點為B，則點B到直線l的距離為（　　）

  A． 2 2

  B． 2

  C． 5 2 2

  D． 7 2 2
  組卷：119引用：2難度：0.8

  解析

• 3．已知直線l的方向向量為

  a

  =

  （

  0

  ，

  3

  ，

  3

  ）

  ，平面m的法向量為

  b

  =

  （

  -

  1

  ，

  1

  ，

  0

  ）

  ，則直線l與m所成的角為（　　）

  A． π 6

  B． π 4

  C． π 3

  D． π 2
  組卷：60引用：3難度：0.6

  解析

• 4．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的離心率為

  1

  2

  ，點A，B在橢圓上運動，當直線AB過橢圓右焦點并垂直于x軸時，△OAB的面積為

  3

  2

  （O為坐標原點），則橢圓的長軸長為（　　）

  A．2

  B．4

  C． 3

  D． 2 3
  組卷：24引用：2難度：0.5

  解析

• 5．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，點P為線段B₁C₁上一點，且

  B

  1

  P

  =

  1

  3

  B

  1

  C

  1

  ，則

  AP

  =（　　）

  A． 1 2 AB + AC + 1 2 A A 1	B． AB + 1 2 AC + 1 2 A A 1
  C． 1 3 AB + 2 3 AC - A A 1	D． 2 3 AB + 1 3 AC + A A 1
  組卷：200引用：5難度：0.7

  解析

• 6．已知棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，M，N分別是A₁B₁，AD，CC₁的中點，則直線AC與平面EMN之間的距離為（　　）

  A．0

  B． 3 3

  C． 3 2

  D． 3
  組卷：160引用：4難度：0.6

  解析

• 7．已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-1，2）三個點，且O為坐標原點，滿足

  OA

  ?

  OC

  =

  OB

  ?

  OC

  =

  1

  2

  ，則直線AB與圓

  （

  x

  -

  1

  2

  ）

  2

  +

  （

  y

  -

  2

  ）

  2

  =

  2

  的位置關系是（　　）

  A．相離	B．相切
  C．相交	D．以上三種情況都有可能
  組卷：58引用：2難度：0.6

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長為2的等邊三角形，CC₁=2，∠ACC₁=60°．D，E分別是線段AC，CC₁的中點，二面角C₁-AC-B為直二面角．
  （1）求證：A₁C⊥平面BDE；
  （2）若點P為線段B₁C₁上的動點（不包括端點），求銳二面角P-BD-E的余弦值的取值范圍．
  組卷：400引用：9難度：0.5

  解析

• 22．已知軌跡E上任一點G（x,y）與定點

  F

  （

  2

  ，

  0

  ）

  的距離和G到定直線

  l

  ：

  x

  =

  3

  2

  的距離的比為

  3

  3

  ．
  （1）求軌跡E的方程，并說明軌跡表示什么圖形？
  （2）設點A（0，-1），B（0，2），過點A且斜率為k₁的動直線l與軌跡E交于M，N兩點，直線BM，BN分別交圓x²+（y-1）²=1于異于點B的點P，Q，設直線PQ的斜率為k₂，直線BM，BN的斜率分別為k₃，k₄．
  ①求證：k₃?k₄為定值；
  ②問：直線PQ是否過一定點，若過，請求出定點；若不過，請說明理由．
  組卷：40引用：2難度：0.3

  解析