2022-2023學年河北省衡水十四中高二（下）期中數學試卷

一、單選題（每題5分，共8題，每題只有一個正確選項。）

• 1．我國中醫藥選出的“三藥三方”對治療某疾病有顯著效果．若某醫生從“三藥三方”中隨機選出2種，則恰好選出1藥1方的方法數為（　　）

  A．15

  B．30

  C．6

  D．9
  組卷：15引用：1難度：0.7

  解析

• 2．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，2S_n=a_n+1a_n，則S₂₀=（　　）

  A．55

  B．50

  C．110

  D．210
  組卷：78引用：3難度：0.6

  解析

• 3．2022年小李夫婦開設了一家包子店，經統計，發現每天包子的銷量X～N（1000，50²）（單位：個），估計300天內每天包子的銷量約在950到1100個的天數大約為（　　）
  （附：若隨機變量X～N（μ，σ²），則P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（u-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）

  A．236

  B．246

  C．270

  D．275
  組卷：355引用：9難度：0.7

  解析

• 4．

  （

  1

  +

  1

  x

  3

  ）

  （

  1

  -

  x

  ）

  6

  的展開式中x²的系數為（　　）

  A．6

  B．-6

  C．-9

  D．9
  組卷：60引用：2難度：0.8

  解析

• 5．為了強化學校的體育教育教學工作，提高學生身體素質，加強學生之間的溝通，凝聚班級集體的力量，激發學生熱愛體育的熱情．某中學舉辦田徑運動會，某班從甲、乙等6名學生中選4名學生代表班級參加學校4×100米接力賽，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都參加的不同棒次安排方案總數為（　　）

  A．48

  B．36

  C．24

  D．12
  組卷：277引用：4難度：0.6

  解析

• 6．為了激發同學們學習數學的熱情，某學校開展利用數學知識設計LOGO的比賽，其中某位同學利用函數圖像的一部分設計了如圖的LOGO，那么該同學所選的函數最有可能是（　　）

  A．f（x）=x-sinx	B．f（x）=sinx-xcosx
  C． f （ x ） = x 2 - 1 x 2	D．f（x）=sinx+x3
  組卷：257引用：10難度：0.6

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• 7．在數學王國中有許多例如π，e等美妙的常數，我們記常數p為

  lnx

  =

  1

  x

  的零點，若曲線y=e^x-a與y=lnx存在公切線，則實數a的取值范圍是（　　）

  A．（-∞，p+lnp]

  B．（-∞，-p-lnp]

  C．[p+lnp,+∞）

  D．[-p-lnp,+∞）
  組卷：141引用：3難度：0.4

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四、解答題（17題10分，18-22，每題12分）

• 21．某研發小組為了解年研發資金投入量x（單位：億元）對年銷售額y（單位：億元）的影響，結合近10年的年研發資金投入量x_i和年銷售額y_i的數據（i=1，2，…10），建立了兩個函數模型：①y=α+βx²，②y=e^λx+t，其中α，β，λ，t均為常數，e為自然對數的底數．設

  u

  i

  =

  x

  2

  i

  ，v_i=lny_i（i=1，2，…10），經過計算得如下數據．
  

  x	y	10 ∑ i = 1 （ x i - x ） 2	10 ∑ i = 1 （ y i - y ） 2	10 ∑ i = 1 （ x i - x ） （ v i - v ）
  20	66	770	200	14
  u	v	10 ∑ i = 1 （ u i - u ） 2	10 ∑ i = 1 （ v i - v ） 2	10 ∑ i = 1 （ u 1 - u ） （ y i - y ）
  460	4.20	3125000	0.308	21500

  （1）設{u_i}和{y_i}的相關系數為r₁，{x_i}和{v_i}的相關系數為r₂，請從相關系數的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；
  （2）①根據（1）中選擇的模型及表中數據，建立y關于x的回歸方程（系數精確到0.01）；
  ②當年研發資金投入量約為x₀億元時，年銷售額大致為e⁴億元，若正數a,b滿足

  ab

  =

  x

  0

  8

  ，求

  M

  =

  1

  1

  +

  a

  +

  1

  1

  +

  2

  b

  的最小值．
  參考公式：相關系數

  r

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  2

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  2

  ，線性回歸直線

  ?

  y

  =

  ?

  a

  +

  ?

  b

  x

  中斜率和截距的最小二乘法估計參數分別為

  ?

  b

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  2

  ，

  ?

  a

  =

  y

  -

  ?

  b

  x

  ．
  組卷：26引用：2難度：0.4

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• 22．已知函數f（x）=lnx-mx²+（1-2m）x+1．
  （1）若m=1，求f（x）的極值；
  （2）討論f（x）的單調性；
  （3）若對任意x＞0，有f（x）≤0恒成立，求整數m的最小值．
  組卷：268引用：6難度：0.6

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