2023-2024學年北京市海淀區中關村中學高三（上）開學數學試卷（9月份）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

• 1．設全集U={x∈R|x≥1}，集合A={x∈R*|x²≥3}，則?_UA=（　　）

  A．[1， 3 ）

  B．[1， 3 ]

  C．（ 3 ，+∞）

  D．[ 3 ，+∞）
  組卷：127引用：3難度：0.8

  解析

• 2．在復平面內，復數

  z

  =

  1

  +

  2

  i

  i

  對應的點位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  組卷：60引用：2難度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  a

  =（2，3），

  b

  =（3，2），則|

  a

  -

  b

  |=（　　）

  A． 2

  B．2

  C．5 2

  D．50
  組卷：8093引用：46難度：0.8

  解析

• 4．已知f（x）=x-sinx,命題p：?x∈（0，

  π

  2

  ），f（x）＜0，則（　　）

  A．p是假命題，￢p：?x∈（0， π 2 ），f（x）≥0

  B．p是假命題，￢p：?x∈（0， π 2 ），f（x）≥0

  C．p是真命題，￢p：?x∈（0， π 2 ），f（x）≥0

  D．p是真命題，￢p：?x∈（0， π 2 ），f（x）≥0
  組卷：24引用：7難度：0.9

  解析

• 5．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點與雙曲線

  x

  2

  3

  -

  y

  2

  =1的右焦點重合，則p=（　　）

  A． 2

  B．2

  C．2 2

  D．4
  組卷：162引用：12難度：0.9

  解析

• 6．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  +

  a

  x

  +

  2

  的值域為（-∞，0]∪[4，+∞），則a的值是（　　）

  A． 1 2

  B． 3 2

  C．1

  D．2
  組卷：140引用：3難度：0.7

  解析

• 7．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a,b,c,若c²=（a-b）²+6，C=

  π

  3

  ，則△ABC的面積是（　　）

  A． 3 3 2

  B． 9 3 2

  C． 3

  D．3 3
  組卷：510引用：17難度：0.7

  解析

三、解答題：本大題共6小題，共85分.

• 20．已知橢圓M：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）過A（-2，0），B（0，1）兩點．
  （Ⅰ）求橢圓M的離心率；
  （Ⅱ）設橢圓M的右頂點為C，點P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點重合），直線AB與直線CP交于點Q，直線BP交x軸于點S，求證：直線SQ過定點．
  組卷：837引用：2難度：0.6

  解析

• 21．已知有限數列{a_n}，從數列{a_n} 中選取第i₁項、第i₂項、……、第i_m項（i₁＜i₂＜…＜i_m），順次排列構成數列{a_k}，其中b_k=a_k，1≤k≤m,則稱新數列{b_k}為{a_n} 的長度為m的子列．規定：數列{a_n} 的任意一項都是{a_n} 的長度為1的子列．若數列{a_n} 的每一子列的所有項的和都不相同，則稱數列{a_n} 為完全數列．
  設數列{a_n}滿足a_n=n,1≤n≤25，n∈N^*．
  （Ⅰ）判斷下面數列{a_n} 的兩個子列是否為完全數列，并說明由；
  數列 （1）：3，5，7，9，11；數列 （2）：2，4，8，16．
  （Ⅱ）數列{a_n} 的子列{b_k}長度為m,且{b_k}為完全數列，證明：m的最大值為6；
  （Ⅲ）數列{a_n} 的子列{a_k}長度m=5，且{b_k}為完全數列，求

  1

  b

  1

  +

  1

  b

  2

  +

  1

  b

  3

  +

  1

  b

  4

  +

  1

  b

  5

  的最大值．
  組卷：294引用：9難度：0.5

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