人教五四新版九年級（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數（18）

一、填空題（共1小題）

• 1．如圖，已知直線y=-

  3

  4

  x+3分別交x軸、y軸于點A、B，P是拋物線y=-

  1

  2

  x²+2x+5上的一個動點，其橫坐標為a,過點P且平行于y軸的直線交直線y=-

  3

  4

  x+3于點Q，則當PQ=BQ時，a的值是

  ．
  組卷：3799引用：73難度：0.5

  解析

二、解答題（共29小題）

• 2．已知：拋物線y=x²+（2m-1）x+m²-1經過坐標原點，且當x＜0時，y隨x的增大而減小．
  （1）求拋物線的解析式，并寫出y＜0時，對應x的取值范圍；
  （2）設點A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于點B，DC⊥x軸于點C．
  ①當BC=1時，直接寫出矩形ABCD的周長；
  ②設動點A的坐標為（a,b），將矩形ABCD的周長L表示為a的函數并寫出自變量的取值范圍，判斷周長是否存在最大值？如果存在，求出這個最大值，并求出此時點A的坐標；如果不存在，請說明理由．
  組卷：1620引用：53難度：0.5

  解析

• 3．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點D的坐標為（1，-

  9

  2

  ），且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，A點的坐標為（4，0）．P點是拋物線上的一個動點，且橫坐標為m.
  （1）求拋物線所對應的二次函數的表達式；
  （2）若動點P滿足∠PAO不大于45°，求P點的橫坐標m的取值范圍；
  （3）當P點的橫坐標m＜0時，過P點作y軸的垂線PQ，垂足為Q．問：是否存在P點，使∠QPO=∠BCO？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：2180引用：51難度：0.5

  解析

• 4．如圖，已知拋物線y=-

  1

  2

  x²+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，8）、B（8，0）和點E，動點C從原點O開始沿OA方向以每秒1個單位長度移動，動點D從點B開始沿BO方向以每秒1個單位長度移動，動點C、D同時出發，當動點D到達原點O時，點C、D停止運動．
  （1）直接寫出拋物線的解析式：

  ；
  （2）求△CED的面積S與D點運動時間t的函數解析式；當t為何值時，△CED的面積最大？最大面積是多少？
  （3）當△CED的面積最大時，在拋物線上是否存在點P（點E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：4261引用：61難度：0.5

  解析

• 5．一次函數y=

  3

  4

  x的圖象如圖所示，它與二次函數y=ax²-4ax+c的圖象交于A、B兩點（其中點A在點B的左側），與這個二次函數圖象的對稱軸交于點C．
  （1）求點C的坐標；
  （2）設二次函數圖象的頂點為D．
  ①若點D與點C關于x軸對稱，且△ACD的面積等于3，求此二次函數的關系式；
  ②若CD=AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數的關系式．
  組卷：3457引用：55難度：0.5

  解析

• 6．如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內作半圓，B為半圓上一點，連接AB并延長至C，使BC=AB，過C作CD⊥x軸于點D，交線段OB于點E，已知CD=8，拋物線經過O、E、A三點．
  （1）∠OBA=

  °．
  （2）求拋物線的函數表達式．
  （3）若P為拋物線上位于第一象限內的一個動點，以P、O、A、E為頂點的四邊形面積記作S，則S取何值時，相應的點P有且只有3個？
  組卷：2327引用：52難度：0.5

  解析

• 7．如圖①，一次函數y=kx+b的圖象與二次函數y=x²的圖象相交于A，B兩點，點A，B的橫坐標分別為m,n（m＜0，n＞0）．
  （1）當m=-1，n=4時，k=

  ，b=

  ；
  當m=-2，n=3時，k=

  ，b=

  ；
  （2）根據（1）中的結果，用含m,n的代數式分別表示k與b,并證明你的結論；
  （3）利用（2）中的結論，解答下列問題：
  如圖②，直線AB與x軸，y軸分別交于點C，D，點A關于y軸的對稱點為點E，連接AO，OE，ED．
  ①當m=-3，n＞3時，求

  S

  △

  ACO

  S

  四邊形

  AOED

  的值（用含n的代數式表示）；
  ②當四邊形AOED為菱形時，m與n滿足的關系式為

  ；
  當四邊形AOED為正方形時，m=

  ，n=

  ．
  
  組卷：1893引用：50難度：0.5

  解析

• 8．拋物線y=

  1

  4

  x²-

  3

  2

  x+2與x軸交于A，B兩點（OA＜OB），與y軸交于點C．
  （1）求點A，B，C的坐標；
  （2）點P從點O出發，以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時點E也從點O出發，以每秒1個單位長度的速度向點C運動，設點P的運動時間為t秒（0＜t＜2）．
  ①過點E作x軸的平行線，與BC相交于點D（如圖所示），當t為何值時，

  1

  OP

  +

  1

  ED

  的值最小，求出這個最小值并寫出此時點E，P的坐標；
  ②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點F，使△EFP為直角三角形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：2340引用：53難度：0.5

  解析

• 9．在平面直角坐標系中，已知y=-

  1

  2

  x²+bx+c（b、c為常數）的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，-1），點C的坐標為（4，3），直角頂點B在第四象限．
  （1）如圖，若拋物線經過A、B兩點，求拋物線的解析式．
  （2）平移（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上并沿AC方向滑動距離為

  2

  時，試證明：平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點．
  （3）在（2）的情況下，若沿AC方向任意滑動時，設拋物線與直線AC的另一交點為Q，取BC的中點N，試探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：1986引用：51難度：0.5

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• 10．如圖，一小球從斜坡O點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數y=-x²+4x刻畫，斜坡可以用一次函數y=

  1

  2

  x刻畫．
  （1）請用配方法求二次函數圖象的最高點P的坐標；
  （2）小球的落點是A，求點A的坐標；
  （3）連接拋物線的最高點P與點O、A得△POA，求△POA的面積；
  （4）在OA上方的拋物線上存在一點M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請直接寫出點M的坐標．
  組卷：3293引用：64難度：0.5

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二、解答題（共29小題）

• 29．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a（x-1）²+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且點B的坐標為（3，0），點P在這條拋物線上，且不與B、C兩點重合．過點P作y軸的垂線與射線BC交于點Q，以PQ為邊作Rt△PQF，使∠PQF=90°，點F在點Q的下方，且QF=1．設線段PQ的長度為d,點P的橫坐標為m.
  （1）求這條拋物線所對應的函數表達式．
  （2）求d與m之間的函數關系式．
  （3）當Rt△PQF的邊PF被y軸平分時，求d的值．
  （4）以OB為邊作等腰直角三角形OBD，當0＜m＜3時，直接寫出點F落在△OBD的邊上時m的值．
  組卷：2204難度：0.5

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• 30．如圖，折疊矩形OABC的一邊BC，使點C落在OA邊的點D處，已知折痕BE=5

  5

  ，且

  OD

  OE

  =

  4

  3

  ，以O為原點，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，拋物線l：y=-

  1

  16

  x²+

  1

  2

  x+c經過點E，且與AB邊相交于點F．
  （1）求證：△ABD∽△ODE；
  （2）若M是BE的中點，連接MF，求證：MF⊥BD；
  （3）P是線段BC上一點，點Q在拋物線l上，且始終滿足PD⊥DQ，在點P運動過程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合條件的Q點坐標；若不能，請說明理由．
  組卷：1928難度：0.5

  解析