2023-2024學年湖南省常德一中高二（上）期中數學試卷

一、單項選擇題（每小題5分，共40分）

• 1．直線3x+2y-1=0的一個方向向量是（　　）

  A．（2，-3）

  B．（2，3）

  C．（-3，2）

  D．（3，2）
  組卷：1879引用：41難度：0.9

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• 2．設

  a

  =（1，-2，3），

  b

  =（-3，1，2），k

  a

  +

  b

  與

  b

  垂直，則k等于（　　）

  A．6

  B．14

  C．-14

  D．-6
  組卷：137引用：6難度：0.8

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• 3．已知焦點在x軸上的雙曲線的焦距為

  2

  3

  ，焦點到漸近線的距離為

  2

  ，則雙曲線的方程為（　　）

  A． x 2 2 - y 2 = 1

  B． x 2 - y 2 2 = 1

  C． y 2 - x 2 2 = 1

  D． y 2 2 - x 2 = 1
  組卷：136引用：9難度：0.8

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• 4．設O-ABC是正三棱錐，G₁是△ABC的重心，G是OG₁上的一點，且OG=3GG₁，若

  OG

  =

  x

  OA

  +

  y

  OB

  +

  z

  OC

  ，則x+y+z=（　　）

  A． 1 4

  B． 1 2

  C． 3 4

  D．1
  組卷：295引用：11難度：0.7

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• 5．若直線l：ax+by+1=0始終平分圓M：x²+y²+4x+2y+1=0的周長，則（a-2）²+（b-2）²的最小值為（　　）

  A． 5

  B．5

  C．2 5

  D．10
  組卷：1105引用：32難度：0.9

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• 6．過點P（0，3）的直線l與圓C：（x-2）²+（y-3）²=4交于A，B兩點，則當∠CAB=30°時，直線l的斜率為（　　）

  A．± 3 3

  B． 3 3

  C． ± 3

  D． 3
  組卷：74引用：5難度：0.5

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• 7．在如圖3的正方體ABCD-A'B'C'D'中，AB=3，點M是側面BCC'B'內的動點，滿足AM⊥BD'，設AM與平面BCC'B'所成角為θ，則tanθ的最大值為（　　）

  A． 2 2

  B． 2

  C． 4 3

  D． 3 4
  組卷：479引用：5難度：0.5

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四、解答題（共6個大題，第17題10分，其余各題每題12分，共70分）

• 21．如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E為CD的中點．把△ADE沿AE翻折，使得平面ADE⊥平面ABCE．
  
  （Ⅰ）求證：AD⊥BE；
  （Ⅱ）求BD所在直線與平面DEC所成角的正弦值．
  組卷：221引用：2難度：0.5

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• 22．已知橢圓E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）的離心率為

  1

  2

  ，且其長軸長與焦距之和為6，直線y=k₁x,y=k₂x與橢圓E分別交于點A，B，C，D，且k₁+k₂=-12．
  （1）求橢圓E的標準方程；
  （2）求四邊形ACBD面積的最大值．
  組卷：34引用：1難度：0.5

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