2023-2024學年上海市嘉定區育才中學高一（上）期中數學試卷

一、填空題（滿分54分）1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對每題得5分，否則一律得零分．

• 1．若冪函數y=x^α的圖像經過點

  （

  3

  ，

  3

  3

  ）

  ，則此冪函數的表達式是

  ．
  組卷：90引用：4難度：0.8

  解析

• 2．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2k-1，k∈Z}，則M∩N=

  ．
  組卷：21引用：3難度：0.8

  解析

• 3．設x,y∈R，則x²+y²-1

  2x-4y-6．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）
  組卷：50引用：3難度：0.7

  解析

• 4．若0＜a＜1，則不等式（x-a）（x-

  1

  a

  ）＞0的解集是

  ．
  組卷：46難度：0.7

  解析

• 5．已知p：-3≤x≤3，q：x＜a（a為實數）．若q的充分不必要條件是p,則實數a的取值范圍是

  ．
  組卷：90引用：4難度：0.8

  解析

• 6．設函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  4

  x

  2

  +

  1

  x

  （

  x

  ＞

  0

  ）

  的最小值為m,且2ⁿ=m,則n=

  ．
  組卷：13引用：1難度：0.7

  解析

• 7．若集合A={x|（k+1）x²+x-k=0，x∈R}有且僅有一個元素，則實數k的值是

  ．
  組卷：213引用：4難度：0.7

  解析

三、解答題：（滿分78分）解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．

• 22．為擺脫美國政府針對中國高科技企業的封鎖，加強自主性，某企業計劃加大對芯片研發部的投入，據了解，該企業研發部原有100名技術人員，年人均投入60萬元，現將這100名技術人員分成兩部分：技術人員和研發人員，其中技術人員x名（x∈N^*），調整后研發人員的年人均投入增加4x%，技術人員的年人均投入調整為

  60

  （

  m

  -

  2

  x

  25

  ）

  萬元．
  （1）要使這（100-x）名研發人員的年總投入不低于調整前的100名技術人員的年總投入，求調整后的技術人員的人數x最多為多少人？
  （2）若技術人員在已知范圍內調整后，必須研發人員的年總投入始終不低于技術人員的年總投入，求出正整數m的最大值．
  組卷：128引用：17難度：0.6

  解析

• 23．設集合

  A

  =

  {

  a

  |

  a

  =

  x

  +

  2

  y

  ,

  x

  ,

  y

  ∈

  N

  }

  ，稱坐標（x,y）在平面直角坐標系中對應的點P為A中元素a的格點．
  （1）證明：若m∈A，則m²∈A；
  （2）A中的元素a_k所對應的格點記作P_k（k≥1，k∈N₊），現將A中所有元素進行排序，使得a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_k＜…，在平面直角坐標系中，求以P₂，P₄，P₆為頂點的三角形面積；
  （3）已知集合B=（1，t），若A∩B至少有2個元素，最多有5個元素，求t的取值范圍．
  組卷：146引用：3難度：0.3

  解析