人教五四新版九年級（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數（28）

一、解答題（共30小題）

• 1．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與直線y=

  1

  2

  x+2交于C、D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標為（3，

  7

  2

  ）．點P是y軸右側的拋物線上一動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交CD于點F．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）若點P的橫坐標為m,當m為何值時，以O、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由．
  （3）若存在點P，使∠PCF=45°，請直接寫出相應的點P的坐標．
  
  組卷：4951引用：71難度：0.5

  解析

• 2．如圖，在直角坐標系中有一直角三角形AOB，O為坐標原點，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉90°，得到△DOC，拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B、C．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）若點P是第二象限內拋物線上的動點，其橫坐標為t,
  ①設拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD于F，求出當△CEF與△COD相似時，點P的坐標；
  ②是否存在一點P，使△PCD的面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：2016引用：71難度：0.5

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• 3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+4與坐標軸分別交于A、B兩點，過A、B兩點的拋物線為y=-x²+bx+c.點D為線段AB上一動點，過點D作CD⊥x軸于點C，交拋物線于點E．
  （1）求拋物線的解析式．
  （2）當DE=4時，求四邊形CAEB的面積．
  （3）連接BE，是否存在點D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此點D坐標；若不存在，說明理由．
  組卷：2185引用：66難度：0.5

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• 4．如圖，已知一次函數y=0.5x+2的圖象與x軸交于點A，與二次函數y=ax²+bx+c的圖象交于y軸上的一點B，二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點C，且OC=2．
  （1）求二次函數y=ax²+bx+c的解析式；
  （2）設一次函數y=0.5x+2的圖象與二次函數y=ax²+bx+c的圖象的另一交點為D，已知P為x軸上的一個動點，且△PBD為直角三角形，求點P的坐標．
  組卷：1133引用：60難度：0.5

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• 5．如圖，拋物線y=

  1

  2

  x²+bx+c與y軸交于點C（0，-4），與x軸交于點A，B，且B點的坐標為（2，0）．
  （1）求該拋物線的解析式．
  （2）若點P是AB上的一動點，過點P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，求△PCE面積的最大值．
  （3）若點D為OA的中點，點M是線段AC上一點，且△OMD為等腰三角形，求M點的坐標．
  組卷：2257引用：67難度：0.5

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• 6．如圖，拋物線y=-（x-1）²+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側）兩點，與y軸的正半軸交于點C，頂點為D，已知A（-1，0）．
  （1）求點B，C的坐標；
  （2）判斷△CDB的形狀并說明理由；
  （3）將△COB沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE與△CDB重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．
  
  組卷：2200引用：65難度：0.5

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• 7．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個交點A的坐標為（-1，0），對稱軸為直線x=-2．
  （1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
  （2）點D是拋物線與y軸的交點，點C是拋物線上的另一點．已知以AB為一底邊的梯形ABCD的面積為9．求此拋物線的解析式，并指出頂點E的坐標；
  （3）點P是（2）中拋物線對稱軸上一動點，且以1個單位/秒的速度從此拋物線的頂點E向上運動．設點P運動的時間為t秒．
  ①當t為

   

  秒時，△PAD的周長最小？當t為

   

  秒時，△PAD是以AD為腰的等腰三角形？（結果保留根號）
  ②點P在運動過程中，是否存在一點P，使△PAD是以AD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：731引用：59難度：0.5

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• 8．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3），點D在x軸正半軸上，且OD=OC．
  （1）求直線CD的解析式；
  （2）求拋物線的解析式；
  （3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉45°所得直線與拋物線相交于另一點E，求證：△CEQ∽△CDO；
  （4）在（3）的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．
  組卷：1011引用：60難度：0.5

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• 9．如圖，拋物線y=ax²+b與x軸交于點A、B，且A點的坐標為（1，0），與y軸交于點C（0，1）．
  （1）求拋物線的解析式，并求出點B坐標；
  （2）過點B作BD∥CA交拋物線于點D，連接BC、CA、AD，求四邊形ABCD的周長；（結果保留根號）
  （3）在x軸上方的拋物線上是否存在點P，過點P作PE垂直于x軸，垂足為點E，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似？若存在請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：900引用：58難度：0.5

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• 10．如圖，已知拋物線y=

  1

  2

  x²+bx+c（b,c是常數，且c＜0）與x軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的負半軸交于點C，點A的坐標為（-1，0）．
  （1）b=

   

  ，點B的橫坐標為

   

  （上述結果均用含c的代數式表示）；
  （2）連接BC，過點A作直線AE∥BC，與拋物線y=

  1

  2

  x²+bx+c交于點E，點D是x軸上的一點，其坐標為（2，0）．當C，D，E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；
  （3）在（2）條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一個動點，連接PB，PC，設所得△PBC的面積為S．
  ①求S的取值范圍；
  ②若△PBC的面積S為整數，則這樣的△PBC共有

   

  個．
  組卷：1820引用：63難度：0.5

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一、解答題（共30小題）

• 29．如圖，已知拋物線y=-

  1

  4

  x²+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（-2，0）．
  （1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；
  （2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；
  （3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；
  （4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：716引用：57難度：0.5

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• 30．如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（1，-

  3

  ），已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過三點A、B、O（O為原點）．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）在該拋物線的對稱軸上，是否存在點C，使△BOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；
  （3）如果點P是該拋物線上x軸上方的一個動點，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由．（注意：本題中的結果均保留根號）
  組卷：716引用：58難度：0.5

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