2022-2023學年江蘇省常州高級中學高三（上）月考數學試卷（1月份）

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

• 1．集合A={x|2x+3＜7}，B={x∈N|x＞-2}，則A∩B=（　　）

  A．{0，1}

  B．{1}

  C．{0，1，2}

  D．{1，2}
  組卷：72引用：4難度：0.9

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• 2．已知i為虛數單位，下列各式的運算結果為純虛數的是（　　）

  A．i（1+i）

  B．i（1-i）2

  C．i2（1+i）2

  D．i+i2+i3+i4
  組卷：148引用：5難度：0.8

  解析

• 3．已知圓錐SO的底面半徑為3，母線長為5．若球O₁在圓錐SO內，則球O₁的體積的最大值為（　　）

  A． 9 π 2

  B．9π

  C． 32 π 3

  D．12π
  組卷：245引用：4難度：0.7

  解析

• 4．若函數f（x）=x²sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的圖像關于原點對稱，則φ=（　　）

  A． π 4

  B． π 2

  C．π

  D． 3 π 2
  組卷：132引用：3難度：0.7

  解析

• 5．已知兩個單位向量

  a

  ，

  b

  的夾角為60°，設

  c

  =x

  a

  +y

  b

  （其中x,y∈R），若|

  c

  |=3，則xy的最大值（　　）

  A．2

  B． 3

  C．3

  D． 2 3
  組卷：14引用：2難度：0.7

  解析

• 6．曲線

  y

  =

  2

  x

  -

  lnx

  在x=1處的切線的傾斜角為α，則

  cos

  （

  2

  α

  -

  π

  2

  ）

  的值為（　　）

  A． 4 5

  B． - 4 5

  C． 3 5

  D． - 3 5
  組卷：76引用：2難度：0.6

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• 7．已知點P是拋物線x²=2y上的一點，在點P處的切線恰好過點

  （

  0

  ，-

  1

  2

  ）

  ，則點P到拋物線焦點的距離為（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C． 3 2

  D．2
  組卷：51引用：2難度：0.7

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四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．已知圓

  C

  1

  ：

  （

  x

  +

  5

  ）

  2

  +

  y

  2

  =

  36

  ，點C（5，0），點M是圓C₁上的動點，MC的垂直平分線交直線MC₁于點P．
  （1）求點P的軌跡方程C₂；
  （2）過點N（4，0）的直線l交曲線C₂于A，B兩點，在x軸上是否存在點G，使得直線AG和BG的傾斜角互補，若存在，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由．
  組卷：140引用：1難度：0.1

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• 22．設函數f（x）=lnx-a（x-1）e^x，其中a∈R．
  （1）若a=-3，求f（x）的單調區間；
  （2）若

  0

  ＜

  a

  ＜

  1

  e

  ．
  （ⅰ）證明：f（x）恰有一個極值點；
  （ⅱ）設x₀為f（x）的極值點，若x₁為f（x）的零點，且x₁＞x₀，證明：3x₀-x₁＞2．
  組卷：96引用：4難度：0.6

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