2023年江蘇省南京市江寧區秦淮中學高考數學質檢試卷（一）

一、單選題（每題5分，共計40分）

• 1．設集合P={x∈Z|x²-2x-8＜0}，Q={x|y=ln（3x-x²）}，則P∩Q=（　　）

  A．{0，3}

  B．{1，2}

  C．（0，3）

  D．（1，2）
  組卷：41引用：2難度：0.8

  解析

• 2．復數

  z

  =

  5

  2

  -

  i

  的虛部是（　　）

  A．i

  B． 5 3

  C． 5 3 i

  D．1
  組卷：396引用：4難度：0.8

  解析

• 3．三個數a=

  3

  1

  2

  ，b=（

  1

  2

  ）³，c=log₃

  1

  2

  的大小順序為（　　）

  A．b＜c＜a

  B．b＜a＜c

  C．c＜a＜b

  D．c＜b＜a
  組卷：298引用：13難度：0.9

  解析

• 4．設a為實數，函數f（x）=x³+ax²+（a-2）x的導數是f′（x），且f′（x）是偶函數，則曲線y=f（x）在原點處的切線方程為（　　）

  A．y=-2x

  B．y=3x

  C．y=-3x

  D．y=4x
  組卷：137引用：8難度：0.7

  解析

• 5．已知拋物線y²=4x的焦點為F，準線為l.若l與雙曲線

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|=4|OF|（O為原點），則雙曲線的離心率為（　　）

  A． 2

  B． 3

  C．2

  D． 5
  組卷：6391引用：17難度：0.6

  解析

• 6．下列說法中正確的是（　　）

  A．平行向量不一定是共線向量

  B．對于任意向量 a ， b ，必有| a + b |≤| a |+| b |

  C．單位向量都相等

  D．若 a ， b 滿足| a |＞| b |且 a 與 b 同向，則 a ＞ b
  組卷：42引用：4難度：0.7

  解析

• 7．已知函數y=cos（

  3

  π

  2

  +

  πx），x∈[

  5

  6

  ，t）（t

  ＞

  5

  6

  ）既有最小值也有最大值，則實數t的取值范圍是（　　）

  A． 3 2 ＜ t ≤ 13 6	B．t ＞ 3 2
  C． 3 2 ＜ t ≤ 13 6 或t ＞ 5 2	D．t ＞ 5 2
  組卷：423引用：4難度：0.8

  解析

四、解答題（共計6大題，共計70分）

• 21．垃圾是人類日常生活和生產中產生的廢棄物，由于排出量大，成分復雜多樣，且具有污染性，所以需要無害化、減量化處理．某市為調查產生的垃圾數量，采用簡單隨機抽樣的方法抽取20個縣城進行了分析，得到樣本數據（x_i，y_i）（i=1，2，?，20），其中x_i和y_i分別表示第i個縣城的人口（單位：萬人）和該縣年垃圾產生總量（單位：噸），并計算得

  20

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  =

  80

  ，

  20

  ∑

  i

  =

  1

  y

  i

  =

  4000

  ，

  20

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  2

  =

  80

  ，

  20

  ∑

  i

  =

  1

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  2

  =

  8000

  ，

  20

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  =

  700

  ．
  （1）請用相關系數說明該組數據中y與x之間的關系可用線性回歸模型進行擬合；
  （2）求y關于x的線性回歸方程；
  （3）某科研機構研發了兩款垃圾處理機器，其中甲款機器每臺售價100萬元，乙款機器每臺售價80萬元，下表是以往兩款垃圾處理機器的使用年限統計表：
  

  	1年	2年	3年	4年	合計
  甲款	5	20	15	10	50
  乙款	15	20	10	5	50

  根據以往經驗可知，某縣城每年可獲得政府支持的垃圾處理費用為50萬元，若僅考慮購買機器的成本和每臺機器的使用年限（使用年限均為整年），以頻率估計概率，該縣城選擇購買一臺哪款垃圾處理機器更劃算？
  參考公式：相關系數

  r

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  2

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  2

  ，對于一組具有線性相關關系的數據（x_i，y_i）（i=1，2，3，?，n），其回歸直線

  ?

  y

  =

  ?

  b

  x

  +

  ?

  a

  的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

  ?

  b

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  2

  ，

  ?

  a

  =

  y

  -

  ?

  b

  x

  ．
  組卷：197引用：1難度：0.4

  解析

• 22．已知函數f（x）=xe^ax-e^x．
  （1）當a=1時，討論f（x）的單調性；
  （2）當x＞0時，f（x）＜-1，求a的取值范圍；
  （3）設n∈N^*，證明：

  1

  1

  2

  +

  1

  +

  1

  2

  2

  +

  2

  +…+

  1

  n

  2

  +

  n

  ＞ln（n+1）．
  組卷：6814引用：15難度：0.2

  解析