2023-2024學年河南省洛陽第一高級中學高二（上）期中數學試卷（A卷）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．已知向量

  a

  =

  （

  2

  ，

  4

  ，

  x

  ）

  ，

  b

  =

  （

  2

  ，

  y

  ,

  2

  ）

  ，若

  |

  a

  |

  =

  6

  ，

  a

  ⊥

  b

  ，則x+y=（　　）

  A．-3

  B．-2

  C．1

  D．2
  組卷：72引用：4難度：0.7

  解析

• 2．一入射光線經過點M（2，6），被直線l：x-y+3=0反射，反射光線經過點N（-3，4），則反射光線所在直線方程為（　　）

  A．2x-y+13=0

  B．6x-y+22=0

  C．x-3y+15=0

  D．x-6y+27=0
  組卷：331引用：9難度：0.7

  解析

• 3．已知橢圓

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  16

  =

  1

  的左、右焦點分別為B、C、A為橢圓上的一點（不在x軸上），則△ABC面積的最大值是（　　）

  A．15

  B．12

  C．6

  D．3
  組卷：271引用：8難度：0.7

  解析

• 4．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，其準線與雙曲線

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  2

  =

  1

  的漸近線相交于A、B兩點，若△ABF的周長為

  4

  2

  ，則p=（　　）

  A．2

  B． 2 2

  C．8

  D．4
  組卷：585引用：6難度：0.7

  解析

• 5．已知圓C過圓C₁：x²+y²+4x-2y-10=0與圓C₂：（x+3）²+（y-3）²=6的公共點，若圓C₁，C₂的公共弦恰好是圓C的直徑，則圓C的面積為（　　）

  A． 11 π 5

  B． 26 π 5

  C． 130 π 5

  D． 104 π 5
  組卷：296引用：8難度：0.7

  解析

• 6．已知橢圓C過點（3，0），且離心率為

  6

  3

  ，則橢圓C的標準方程為（　　）

  A． x 2 9 + y 2 3 = 1

  B． y 2 27 + x 2 9 = 1

  C． x 2 9 + y 2 3 = 1 或 x 2 3 + y 2 9 = 1

  D． x 2 9 + y 2 3 = 1 或 y 2 27 + x 2 9 = 1
  組卷：326引用：7難度：0.7

  解析

四、解答題：本題共4題，每小題10分，共40分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 19．生活中，橢圓有很多光學性質，如從橢圓的一個焦點出發的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經過另一個焦點．現橢圓C的焦點在y軸上，中心在原點，從下焦點F₁射出的光線經過橢圓鏡面反射到上焦點F₂，這束光線的總長度為4，且反射點與焦點構成的三角形面積的最大值為

  3

  ，已知橢圓的離心率

  e

  ＜

  2

  2

  ．
  （1）求橢圓C的標準方程．
  （2）若從橢圓C的中心O出發的兩束光線OM，ON，分別穿過橢圓上的A，B兩點后射到直線y=4上的M，N兩點，若AB連線過橢圓的上焦點F₂，試問，直線BM與直線AN能交于一定點嗎？若能，求出此定點；若不能，請說明理由．
  組卷：83引用：4難度：0.5

  解析

• 20．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為4，△A₁BC的面積為

  2

  2

  ．
  （1）求A到平面A₁BC的距離；
  （2）設D為A₁C的中點，AA₁=AB，平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁，求二面角A-BD-C的正弦值．
  組卷：12747引用：30難度：0.5

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